Question

5．如图，Rt△ACB中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E为AB上两点，且∠DCE=45°，F为△ABC外一点，且FB⊥AB，FC⊥CD，则下列结论：
①CD=CF；②CE垂直但不平分DF；③AD²+BD²=2DC²；④DE²-BE²=AD²．
其中正确的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得到∠A=∠ABC=45°，证得∠ACD=∠BCF，推出△ACD≌△BCF，根据全等三角形的性质即可得到CD=CF，故①正确；根据等腰三角形的性质即可得到CE垂直平分DF，故②错误；由△DCF是等腰直角三角形，得到DF=$\sqrt{2}$CD，根据勾股定理即可得到BD²+AD²=2CD²，故③正确；连接EF，根据CE垂直平分DF，得到DE=EF，根据勾股定理和等量代换即可得到DE²-BE²=AD²，故④正确．

解答 解：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵BF⊥AB，
∴∠CBF=45°，∵DC⊥CF，
∴∠ACD+∠DCB=∠BCF+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠BCF，
在△ACD与△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠CBF=45°}\\{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCF，
∴CD=CF，故①正确；
∵∠DCE=45°，
∴∠ECF=45°，
∴∠DCE=∠ECF，
∴CE垂直平分DF，故②错误；
∵△DCF是等腰直角三角形，
∴DF=$\sqrt{2}$CD，
∵△ACD≌△BCF，
∴BF=AD，
在Rt△BDF中，BD²+BF²=DF²，
∴BD²+AD²=2CD²，故③正确；
连接EF，
∵CE垂直平分DF，
∴DE=EF，
在Rt△BEF中，∵EF²-BE²=BF²，
∴DE²-BE²=AD²，故④正确；

点评 本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大．