Question

9．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，AG平分∠CAB，EF∥AB，AC=6，BC=8．
（1）求证：CE=FB；
（2）求FG的长．

Answer 1

分析 （1）先证CE=CG，从而将问题转化为证CG=BF，由于CG与BF之间为线段GF，从而只需证明CF=BF即可，于是作GH⊥AB于H，证明△CEF≌△GHB即可得出结论；
（2）先算出AB的长，再利用角平分线比例定理直接算出CG和BG的长度，结合（1）中结论即可算出FG的长．

解答 解：（1）∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG=∠BAG，
∵∠ACG=90°，
∴∠CAG+∠CGA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DAE+∠DEA=90°，
∵∠DEA=∠CEG，
∴∠CEG=∠CGE，
∴CE=CG，
作GH⊥AB于H，如图，

则GH=GC=CE，
∵EF∥AB，
∴EF⊥CD，∠CFE=∠GBH，
在△CEF和△GHB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEF=∠GHB}\\{CE=GH}\\{∠CFE=∠GBH}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△GHB（AAS），
∴CF=BG，
∴BF=CG=CE；
（2）∵AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵AG平分∠CAB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CG}{GB}$，
∴$\frac{CG}{GB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
∴$CG=\frac{3}{8}BC=3$，
∴GB=5，
∴GF=GB-BF=5-3=2．

点评 本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线比例定理，难度中等．（1）中CE=CG是基本结论，可记住，以后遇到类似情景可迅速反应；（2）问利用角平分线比例定理算线段长度非常方便，要特别注意一下．