Question

19．如图，在直角坐标系中，经过点A（2，6）、点B（10，2）的直线与两条坐标轴分别相交于C、D两点，点P是x轴上的一点
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）若∠APB=90°，求△APB的面积；
（3）若△APB的面积等于20，求P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）首先求得AB的长和AB的中点，当∠APB=90°时，P到AB的中点的距离等于AB的一半，据此即可列方程求得P的坐标，则△APB的面积即可求得；
（3）过A和B作x轴的垂线，垂足分别是E和F，则E的坐标是（2，0），F的坐标是（10，0），然后分成P在线段EF上、在线段FE的延长线上和在EF的延长线上三种情况讨论，利用x表示出△PAB的面积，即可列方程求得．

解答 解：（1）设一次函数的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=6}\\{10k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=7}\end{array}\right.$，
则直线AB的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+7；
（2）AB=$\sqrt{（10-2）^{2}+（2-6）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
AB的中点是（6，4）．
设P的坐标是（x，0），
则$\sqrt{（6-x）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{5}$，
解得：x=4或8．
则P的坐标是（4，0）或（8，0）．
当P的坐标是（4，0）时，AP=$\sqrt{（4-2）^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，PB=$\sqrt{（10-4）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
则S△PAB=$\frac{1}{2}$AP•PB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{10}$×2$\sqrt{10}$=20；
当P的坐标是（8，0）时，PA=$\sqrt{（8-2）^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{（10-8）^{2}+{2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
则S△PAB=$\frac{1}{2}$PA•PB=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$=24；
（3）过A和B作x轴的垂线，垂足分别是E和F，则E的坐标是（2，0），F的坐标是（10，0）．
则EF=10-2=8．
则S_梯形ABFE=$\frac{1}{2}$（BF+AE）•EF=$\frac{1}{2}$（2+6）×8=32，
当P在线段EF上时（如图1），PE=x-2，PF=10-x，
则S_△APE=$\frac{1}{2}$PE•AE=$\frac{1}{2}$×（x-2）×6=3（x-2），S_△BPF=$\frac{1}{2}$PF•BF=$\frac{1}{2}$（10-x）×2=10-x．
则32-3（x-2）-（10-x）=20，
解得：x=4，则P的坐标是（4，0）；
当P在FE的延长线上时，如图2，PE=2-x，PF=10-x，
则S_△APE=$\frac{1}{2}$AE•PE=$\frac{1}{2}$×6（2-x）=3（2-x），S_△BPF=$\frac{1}{2}$PF•BF=$\frac{1}{2}$（10-x）×2=10-x，
则S_△PAB=S_△APE+S_梯形ABFE-S_△BPF，
则3（2-x）+32-（10-x）=20，
解得：x=4（舍去）；
当P在EF的延长线上时，如图3．
PE=x-2，PF=x-10，
则S_△APE=$\frac{1}{2}$AE•PE=$\frac{1}{2}$×6（x-2）=3（x-2），S_△BPF=$\frac{1}{2}$PF•BF=$\frac{1}{2}$（x-10）×2=x-10，
S_△PAB=S_梯形ABFE-S_△BPF-S_△APE，
则32+（x-10）-3（x-2）=20，
解得：x=4（舍去）．
综上所述，P的坐标是（4，0）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式，以及图形的面积的计算，把求△PAB的面积转化为几个规则图形的面积的和、差是本题的关键．