Question

10．某商场要经营一种新上市的文具，进价为60元/件．试营销阶段发现：当销售单价是70元时，每天的销售量为40件；现以每5元的方式涨价（即涨价数必为5元的整数倍），销售单价每上涨5元，每天的销售量就减少3件．
（1）直接写出商场销售这种文具，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式：y=$-\frac{3x}{5}+82$．
（2）求出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）若商场要求销售量不低于16件，要想文具每天的销售利润为680元，那么销售单价应该定为多少元？

Answer 1

分析 （1）根据题意可以得到每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据题意可以得到每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，然后将函数关系式化为顶点式，注意涨价数为5元的整数倍，即可求得销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）根据商场要求销售量不低于16件，要想文具每天的销售利润为680元，可以求得销售单价应该定为多少元，本题得以解决．

解答 解：（1）由题意可得，
每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式是：y=40-$\frac{x-70}{5}×3$=$-\frac{3x}{5}+82$，
即每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式是：y=$-\frac{3x}{5}+82$；
（2）由题意可得，
w=（x-60）×$（-\frac{3x}{5}+82）$=$-\frac{3{x}^{2}}{5}+118x-4920$=$-\frac{3}{5}（x-\frac{295}{3}）^{2}+\frac{2645}{3}$，
∴当x=$\frac{295}{3}$=$98\frac{1}{3}$，w取得最大值，
∵涨价数为5元的整数倍，
∴x=95时，w=875；x=100时，w=880；
即每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式是：w=$-\frac{3}{5}（x-\frac{295}{3}）^{2}+\frac{2645}{3}$，销售单价为100元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）由题意可得，
$y=-\frac{3x}{5}+82≥16$，
解得，x≤110，
w=$-\frac{3}{5}（x-\frac{295}{3}）^{2}+\frac{2645}{3}$=680，
解得，${x}_{1}=80，{x}_{2}=\frac{350}{3}=116\frac{2}{3}$（舍去），
即若商场要求销售量不低于16件，要想文具每天的销售利润为680元，那么销售单价应该定为80元．

点评 本题考查二次函数的应用，求函数的解析式、求二次函数的最值，解题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，会将函数解析式化为顶点式，会求函数的最值，需要注意的是涨价数为5元的整数倍．