Question

4．花香村计划改造一片林地，估计这片林地可种梨树80～133棵，根据经验，若种100棵树，果树成熟后平均每棵树上能结500个梨，在这个基础上每多种一棵梨树，平均每棵会少结3个梨，每少种一棵，平均每棵树会多结4个梨．
（1）如果种植110棵梨树，则总共能结多少个梨？
（2）设种植x棵梨树，总共能结y个梨．
①当80≤x≤100时，求出y与x之间的函数关系式；
②当100＜x≤134时，求出y与x之间的函数关系式；
（3）种多少棵梨树，总共能结的梨最多？最多是多少？

Answer 1

分析 （1）根据总数=树的棵树×每棵树上梨子的数量可得；
（2）①根据：梨子总数=梨树的棵树×（500+因树的数量减少而多结的数量），
②根据：梨子总数=梨树的棵树×（500-因树的数量增多而少结的数量），列出函数关系式即可；
（3）分别就（2）中所列函数关系式结合自变量的取值范围讨论其最值即可．

解答 解：（1）110×[500-（110-100）×3]=51700（个）
（2）①y=x[500+（100-x）×4]=-4x²+900x．（80≤x≤100）
②y=x[500-（x-100）×3]=-3x²+800x （100＜x≤133）
（3）分两种情况进行讨论：
①当80≤x≤100时，y=-4x²+900x．
此时，x=-$\frac{b}{2a}$=112.5，所以y 随x的增大而增大．
所以，当x=100时，y最大值为50000．
②当100＜x≤133时，y=-3x²+800x．
此时，x=-$\frac{b}{2a}$=133.3，所以y随x的增大而增大．
所以：当x=133时，y最大值为53333．
综上，种133棵梨树，总共能结的梨最多，最多是53333．

点评 本题主要考查二次函数的实际应用能力，准确找到相等关系是解题的关键，二次函数的最大值的计算方法，需要注意的是，由于该函数图象只是抛物线的一部分，所以应根据抛物线的顶点坐标，准确判断在取值范围内，函数的增减性．