Question

19．已知直线l为x+y=8，点P（x，y）在l上，且x＞0，y＞0，点A的坐标为（6，0）．
（1）设△OPA的面积为S，求S与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）当S=9时，求点P的坐标；
（3）在直线l上有一点M，使OM+MA的和最小，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积公式即可直接求解；
（2）把S=9代入，解方程即可求解；
（3）点O关于l的对称点B，AB与直线x+y=8的交点就是所求．

解答 解：（1）如图所示：
∵点P（x，y）在直线x+y=8上，
∴y=8-x，
∵点A的坐标为（6，0），
∴S=3（8-x）=24-3x，（0＜x＜8）；
（2）当24-3x=9时，x=5，即P的坐标为（5，3）．
（3）点O关于l的对称点B的坐标为（8，8），设直线AB的解析式为y=kx+b，
由8k+b=8，6k+b=0，解得k=4，b=-24，
故直线AB的解析式为y=4x-24，
由y=4x-24，x+y=8解得，x=6.4，y=1.6，
点M的坐标为（6.4，1.6）．

点评 本题考查了轴对称--最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．