Question

10．如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，求直线BD和直线EF的解析式；
（3）是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A、D两点的坐标代入解析式求出b、c即可；
（2）先求出B点坐标，再根据B、D两点坐标求出BD解析式，进而求出EF解析式；
（3）由于EF已经与BD平行了，只需让DF∥BE就可以了，此时，F点的纵坐标与D点相同，从而可求出F点的坐标，进而求出E点坐标，即求出a的值．

解答 解：（1）将A、D两点代入y=x²+bx+c可求得：b=2，c=-3，
∴抛物线解析式为y=x²+2x-3 
（2）由抛物线解析式y=x²+2x-3可求B的坐标是（1，0），
由B、D两点坐标求得直线BD的解析式为y=x-1；
∵EF∥BD，
∴直线EF的解析式为：y=x-a 
（3）若四边形BDFE是平行四边形，则DF∥x轴，如图，

∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为-3．
∴F点的坐标为（0，-3），
∴DF=2，
∴BE=DF=2，
∴E（3，0），
即：a=3．
所以存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形．

点评 本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法求直线解析式、平行四边形的判定与性质等知识点，虽有一定综合性，但难度不大，属于较基础的题．