Question

1．已知：△ABC是等腰直角三角形，四边形BDEF是正方形，P是EC的中点．

（1）如图a，当B、D、C在同一直线上时，请探究PA和PD的数量关系有PA=PD，位置关系有PA⊥PD．
（2）如图b，把等腰直角△ABC绕点B逆时针旋转，当点C恰好在射线FE上时：
问题①：（1）中得到的结论还成立吗？请加以证明．
问题②：若正方形BDEF的面积为1，等腰直角△ABC的面积为y，PC的长为x，求y关于x的函数关系式．
（3）如图c，把等腰直角△ABC绕点B逆时针旋转到一般位置时，请直接写出（1）中得到的结论一定成立（填“成立”或“不成立”）．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边的中线的性质求得PA=PC，∠PAC=∠PCA，PD=PC，∠PCD=∠PDC，进而就可证得PA=PD，PA⊥PD．
（2），在BF上截取BG=CP，连接AG、DG，先证得△ABG≌△ACP，得出AG=AP，∠BAG=∠CAP，进而证得∠GAP=90°，再证得△DBG≌△DEP，得出DG=DP，∠BDG=∠EDP进而证得∠GDP=90°，然后证得四边形AGDP是正方形，即可证得PA=PD，PA⊥PD．
（3）将△PDE绕D点逆时针旋转90°，使E和B重合，P到G位置，连接AG，然后证得△AGB≌△APC，得出AG=AP，∠GAB=∠PAC，进而证得∠GAP=90°，然后证得四边形AGDP是正方形，即可证得PA=PD，PA⊥PD．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EAC=90°，
∵P是EC的中点，
∴PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
∵四边形BDEF是正方形，
∴∠EDC=90°，
同理证得：PD=PC，∠PCD=∠PDC，
∵∠ACP+∠PCD=∠ACB=45°，
∴∠APD=∠PAC+∠PCA+∠PCD+∠PDC=2∠ACB=90°，
∴PA⊥PD，
故答案为：PA=PD，PA⊥PD．
（2）①成立；
如图b，在BF上截取BG=CP，连接AG、DG，
∵∠BAC=∠F=90°，∠AOC=∠BOF，
∴∠FBA=∠ACP，
在△ABG和△ACP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABG=∠ACP}\\{BG=CP}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ACP（SAS），
∴AG=AP，∠BAG=∠CAP，
∵∠BAC=90°，
∴∠GAP=90°，
∵BG=CP，EP=CP，
∴GB=EP，
在△DBG和△DEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=EP}\\{∠DBG=∠DEP=90°}\\{BD=DE}\end{array}\right.$，
∴△DBG≌△DEP（SAS），
∴DG=DP，∠BDG=∠EDP，
∵∠BDE=90°，
∴∠GDP=90°，
∴∠AGP=∠APG=∠DGP=∠DPG=45°，
∴∠AGD=∠APD=90°，
∴四边形AGDP是正方形，
∴PA=PD，PA⊥PD，
（3）成立；
如图c，将△PDE绕D点逆时针旋转90°，使E和B重合，P到G位置，连接AG，
则∠DGB=∠DPE，∠PDE=∠GDB，DG=DP，
∵∠APE=90°-∠EPD，
∴∠APC=180°-∠APE=90°+∠EPD，
∵∠AGB=90°+∠DGB，
∴∠AGB=∠APC，
在△AGB和△APC中，
$\left\{\begin{array}{l}{GB=PC}\\{∠AGB=∠APC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△APC（SAS），
∴AG=AP，∠GAB=∠PAC，
∴∠GAP=90°，
∴四边形AGDP是正方形，
∴PA=PD，PA⊥PD．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，找出全等三角形是解题的关键．