Question

9．如图，锐角△ABC中．AD是∠BAC的平分线．线段BE垂直AC于E点．交线段AD于F．
（1）试判断∠ABC和∠C、∠BFD之间存在何种等量关系，请证明：
（2）如果∠BAC是钝角，其他条件不变，（1）中结论是否成立？如不成立．又有怎样相应的结论？请画图证明．

Answer 1

分析 （1）如图1，由AD是∠BAC的平分线，得到∠1=∠2=$\frac{1}{2}∠$BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠C），由于BE⊥AC，得到∠2+∠ADE=90°，根据对顶角的性质得到∠2=90°-∠BFD，于是得出结论；
（2）如图2，由AD是∠BAC的平分线，得到∠1=∠2=$\frac{1}{2}∠$BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠C），根据BE⊥AC，得到∠EAF+∠BFD=90°，由对顶角相等得到∠2=∠EAF，于是得到结论．

解答 解：（1）如图1，∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}∠$BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠C），
∵BE⊥AC，
∴∠2+∠ADE=90°，
∵∠AFE=∠DFB，
∴∠2=90°-∠BFD，
∴∠BFD=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠C）；

（2）（1）中结论成立，
如图2，∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}∠$BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠C），
∵BE⊥AC，
∴∠EAF+∠BFD=90°，
∵∠2=∠EAF，
∴∠2+∠BFD=90°，
∴∠2=90°-∠BFD，
∴∠BFD=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠C）．

点评 本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，对顶角的性质，正确的作出图形是解答（2）问的关键．