【题目】已知直线m∥n,点C是直线m上一点,点D是直线n上一点,CD与直线m、n不垂直,点P为线段CD的中点.
(1)操作发现:直线l⊥m,分别交m、n于点A、B,当点B与点D重合时(如图1),连结PA,请直接写出线段PA与PB的数量关系: .
(2)猜想证明:在图1的情况下,把直线l向右平移到如图2的位置,试问(1)中的PA与PB
的关系式是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(3)延伸探究:在图2的情况下,把直线l绕点A旋转,使得∠APB=90°(如图3),若两平行线m、n之间的距离为2k,求证:PAPB=kAB.
【答案】(1)PA=PB;(2)成立,证明详见解析;(3)详见解析.
【解析】
(1)根据△CBD是直角三角形,而且点P为线段CD的中点,应用直角三角形的性质,可得PA=PB,据此解答即可.
(2)PA=PB仍然成立.如图,延长AP交直线n于点E.只要证明PA=PE即可;
(3)延长AP交直线n于点E,作AF⊥直线n于点F.只要证明△AEF∽△BEP,可得,推出AEBP=AFBE,由AF=2k,AE=2PA,BE=AB,推出2PAPB=2kAB,可得PAPB=AB.
解:.
成立.如图,延长AP交直线m于点E.
mn,
,,
又,
≌.
,即点P是AE的中点,
又,
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
如图,延长AP交直线n于点E,作直线n于点
由得,
又,
是线段AE的垂直平分,
,,
∽.
,
,
,,,
,
.
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【题目】在学校组织的“最美数学小报”的评比中,校团委给每个同学的作品打分,成绩分为四个等级,其中相应等级的得分依次记为100分,90分,80分,70分,将八(1)班与八(2)班的成绩整理并绘制成如下统计图:
请你根据以上提供的信息解答下列问题:
(1)将表格补充完整.
平均数(分) | 中位数(分) | 众数(分) | |
八(1)班 | 83.75 | 80 | |
八(2)班 | 80 |
(2)若八(1)班有40人,且评分为B级及以上的同学有纪念奖章,请问该班共有几位同学得到奖章?
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若AC=4,CE=2,求的长度.(结果保留π)
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【题目】已知△ABC内接于⊙O,AD平分∠BAC.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,当BC为直径时,作BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,求证:DE=AF;
(3)如图3,在(2)的条件下,延长BE交⊙O于点G,连接OE,若EF=2EG,AC=2,求OE的长.
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【题目】九年级学生到距离学校6千米的百花公园去春游,一部分学生步行前往,20分钟后另一部分学生骑自行车前往,设(分钟)为步行前往的学生离开学校所走的时间,步行学生走的路程为千米,骑自行车学生骑行的路程为千米,关于的函数图象如图所示.
(1)求关于的函数解析式;
(2)步行的学生和骑自行车的学生谁先到达百花公园,先到了几分钟?
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【题目】如图,在一笔直的海岸线上有两个观测站,在的正东方向,(单位:).有一艘小船在点处,从测得小船在北偏西的方向,从测得小船在北偏东的方向.
求点到海岸线的距离;
小船从点处沿射线的方向航行一段时间后,到点处,此时,从测得小船在北偏西的方向.求点与点之间的距离.(上述两小题的结果都保留根号)
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【题目】阅读材料:小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2.善于思考的小明进行了以下探索:设a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n均为整数),则有a+b=m2+2n2+2mn,∴a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法解决下列问题:
(1)当a,b,m,n均为正整数时,若a+b=(m+n)2,用含m,n的式子分别表示a,b,得a=______________,b=________;
(2)利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空:
________+________=(________+________)2;
(3)若a+4=(m+n)2,且a,m,n均为正整数,求a的值.
(4)试化简.
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【题目】阅读材料:若m2﹣2mn+2n2﹣10n+25=0,求m,n的值.
解:∵m2﹣2mn+2n2﹣10n+25=0,
∴(m2﹣2mn+n2)+(n2﹣10n+25)=0.
∴(m﹣n)2+(n﹣5)2=0,
∴m﹣n=0,n﹣5=0.
∴n=5,m=5.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)已知:x2+2xy+2y2+4y+4=0,求xy的值;
(2)已知:△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足:a2+b2﹣16a﹣12b+100=0,求△ABC的周长的最大值;
(3)已知:△ABC的三边长是a,b,c,且满足:a2+2b2+c2﹣2b(a+c)=0,试判断△ABC是什么形状的三角形并说明理由.
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【题目】如图,AC是以AB为直径的⊙O的弦,点D是⊙O上的一点,过点D作⊙O的切线交直线AC于点E,AD平分∠BAE,若AB=10,DE=3,则AE的长为____________.
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