Question

【题目】已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，当BC为直径时，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，求证：DE=AF；

（3）如图3，在（2）的条件下，延长BE交⊙O于点G，连接OE，若EF=2EG，AC=2，求OE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2.

【解析】

（1）连接OB、OC、OD，根据圆心角与圆周角的性质得∠BOD=2∠BAD，∠COD=2∠CAD，又AD平分∠BAC，得∠BOD=∠COD，再根据圆周角相等所对的弧相等得出结论.

（2）过点O作OM⊥AD于点M，又一组角相等，再根据平行线的性质得出对应边成比例，进而得出结论；

（3）延长EO交AB于点H，连接CG，连接OA，BC为⊙O直径，则∠G=∠CFE=∠FEG=90°，四边形CFEG是矩形，得EG=CF，又AD平分∠BAC，再根据邻补角与余角的性质可得∠BAF=∠ABE，∠ACF=∠CAF，AE=BE，AF=CF，再根据直角三角形的三角函数计算出边的长，根据“角角边”证明出△HBO∽△ABC，根据相似三角形的性质得出对应边成比例，进而得出结论.

（1）如图1，连接OB、OC、OD，

∵∠BAD和∠BOD是所对的圆周角和圆心角，

∠CAD和∠COD是所对的圆周角和圆心角，

∴∠BOD=2∠BAD，∠COD=2∠CAD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠BOD=∠COD，

∴=；

（2）如图2，过点O作OM⊥AD于点M，

∴∠OMA=90°，AM=DM，

∵BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，

∴∠CFM=90°，∠MEB=90°，

∴∠OMA=∠MEB，∠CFM=∠OMA，

∴OM∥BE，OM∥CF，

∴BE∥OM∥CF，

∴=，

∵OB=OC，

∴==1，

∴FM=EM，

∴AM﹣FM=DM﹣EM，

∴DE=AF；

（3）延长EO交AB于点H，连接CG，连接OA．

∵BC为⊙O直径，

∴∠BAC=90°，∠G=90°，

∴∠G=∠CFE=∠FEG=90°，

∴四边形CFEG是矩形，

∴EG=CF，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAF=∠CAF=×90°=45°，

∴∠ABE=180°﹣∠BAF﹣∠AEB=45°，

∠ACF=180°﹣∠CAF﹣∠AFC=45°，

∴∠BAF=∠ABE，∠ACF=∠CAF，

∴AE=BE，AF=CF，

在Rt△ACF中，∠AFC=90°，

∴sin∠CAF=，即sin45°=，

∴CF=2×=，

∴EG=，

∴EF=2EG=2，

∴AE=3，

在Rt△AEB中，∠AEB=90°，

∴AB===6，

∵AE=BE，OA=OB，

∴EH垂直平分AB，

∴BH=EH=3，

∵∠OHB=∠BAC，∠ABC=∠ABC

∴△HBO∽△ABC，

∴==，

∴OH=1，

∴OE=EH﹣OH=3﹣1=2．