Question

12．如图，在正方形网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的各个顶点都在正方形的顶点上，计算sinA，cosA，tanA与sinB，cosB，tanB的值．

Answer 1

分析 根据正方形网格中每个小正方形的边长均为1，可以求得边AB、AC、BC的长，从而可以求得∠A的余弦值，∠B的余弦值，从而推导出∠A的正弦值和正切值，∠B的正弦值和正切值．

解答 解：∵在正方形网格中每个小正方形的边长均为1，
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=\sqrt{25}=5$，
∴cosA=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}=\frac{{5}^{2}+（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{10}）^{2}}{2×5×\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}=\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=\frac{1}{2}$，
∴cosB=$\frac{B{C}^{2}+B{A}^{2}-A{C}^{2}}{2BC•BA}=\frac{（\sqrt{10}）^{2}+{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}{2×\sqrt{10}×5}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}=\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{10}}{10}）^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴tanB=$\frac{sinB}{cosB}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{3\sqrt{10}}{10}}=\frac{1}{3}$，
即sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$cosA=\frac{2\sqrt{5}}{5}，tanA=\frac{1}{2}$，$sinB=\frac{\sqrt{10}}{10}，cosB=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$tanB=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查解直角三角形，解题的关键是根据题意求出各边的长，然后求出各角的余弦值．