Question

【题目】如图，等边△ABC中，AB=3，点O在AB的延长线上，OA=6，且∠AOE=30°，动点P从点O出发，以每秒个单位的速度沿射线OE方向运动，以P为圆心，OP为半径作⊙P，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿折线B…C…A向点A运动，Q与A重合时，P、Q同时停止运动，设P的运动时间为t秒．

（1）当△POB是直角三角形时，求t的值；

（2）当⊙P过点C时，求⊙P与线段OA围成的封闭图形的面积；

（3）当⊙P与△ABC的边所在直线相切时，求t的值；

（4）当线段OQ与⊙P只有一个公共点时，直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）t=或t=2时△POB是直角三角形；（2）或；（3）当t=1或t=时⊙P与△ABC的边所在直线相切；（4）＜t≤6时，线段OQ与⊙P只有一个公共点．

【解析】

（1）首先证明O、C、E共线，分两种情形分别讨论求解即可解决问题；

（2）分两种情形求解即可．

（3））⊙P不可能与AB所在直线相切当⊙P与AC所在直线相切时，如图4中，求出OP的长即可解决问题，当⊙P与BC的边所在直线相切时，如图5中，求出OP即可；

（4）如图6中，当⊙P经过点Q时，求出t的值，即可解决问题；

（1）如图1中，连接OC．

∵∠ABC=60°，OB=BC

∴∠AOC=∠BCO=30°，

∴OE经过点C，∠ACO=90°

如图当∠BPO=90°时，OP=OBcos30=，

∴t=．

如图2中，当∠PBO=90°时，

OP==2，

∴t=2，

∴当t=或t=2时△POB是直角三角形．

（2）如图3中，当点P运动到OC中点时⊙P过点C，设⊙P交OA于点F，作PH⊥OA于H．

∵PO=PF

∴∠O=∠PFO=30°，

∴∠OPF=120°

又∵PO═，

∴PH=OP=，

∴S弓形OmF=S扇形POF﹣S△OPF=π﹣或S弓形OnF=π+．

（3）⊙P不可能与AB所在直线相切

当⊙P与AC所在直线相切时，如图4中，

∵∠ACO=90°

∴当点P运动到OC中点时⊙P与AC边所在直线相切，此时t=

当⊙P与BC的边所在直线相切时，如图5中，此时PB=OP=，t=1，

∴当t=1或t=时⊙P与△ABC的边所在直线相切．

（4）如图6中，当⊙P经过点Q时，

∵BC：BQ=CO：OP=，

∴PQ∥OB，

∴，

∴，

解得t=，

观察图象可知：当＜t≤6时，线段OQ与⊙P只有一个公共点．