Question

【题目】如图，在中，，过点作射线AD//BC，点从点出发沿射线以的速度运动．同时点从点出发沿射线以的速度运动．连结交于点，设点运动时间为．

（1）求证：AG=BG．

（2）求AE+CF的长（用含t的代数式表示）．

（3）设的面积为，直接写出当时，的面积（且含的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当0≤t≤4时，AE+CF= 4cm，当t>4时，AE+CF= 2t-4；（3）当CF=2时，ΔAEG的面积或．

【解析】

（1）先由运动得出AE＝BF，再由平行线性质得到∠EAG=∠B，∠AEG=∠BFG ，即可得到两个三角形全等，即可得出结论；

（2）先得出AE＝BF，再分点F在线段BC和BC的延长线上，用线段的和差即可得出结论；

（3）先求出MG＝，再分点F在线段BC和BC的延长线上，用线段的和差求出BF，即可求出AE，最后用三角形的面积公式即可得出结论．

（1）∵AE=t，BF=t，

∴AE=BF ．

∵，

∴∠EAG=∠B，∠AEG=∠BFG ．

∴△AEG≌△BFG．

∴AG=BG ．

（2）由（1）知，△AEG≌△BFG，

∴AE＝BF，当点F在线段BC上时，AE＋CF＝BF＋CF＝BC＝4cm；

当点F在线段BC的延长线上时，AE＋CF＝BF＋CF＝t＋t4＝2t4；．

（3）如图，过点G作MN⊥BC，

由（1）知，△AEG≌△BFG，

∴AE＝BF，GM＝GN＝MN．

∵S△ABC＝CBMN＝a，

∴MN＝，

∴MG＝，

当点F在线段BC上时，BF＝BCCF＝42＝2，

∴AE＝2，

∴S△AEG＝AEMG＝×2×a＝a，

当点F在BC延长线上时，BF＝BC＋CF＝4＋2＝6，

∴AE＝6，

∴S△AEG＝AEMG＝×6×a＝．

∴ΔAEG的面积为或．