Question

【题目】如图1,正方形和正方形, 连接,当时， 与的关系是？

如图2,将正方形绕点顺时针旋转，中结论是否仍然成立?若成立，请给出证明:若不成立，请说明理由;

已知，在旋转过程中，若直线平分,请画出相应的图形，并写出其中一种情形时长的思路．

Answer 1

【答案】（1）BG⊥CE，BG=CE；（2）（1）中结论仍然成立，理由见解析；（3）见解析

【解析】

（1）由题干提供的已知条件直接得到答案，

（2）利用正方形的性质证明△CAE≌△GAB，得到BG=CE，∠CEA=∠GBA，再利用三角形内角和可得答案，

（3）当点O在EC上时，连接BE，CG，利用已证明的结论BG⊥CE，BG=CE，结合已知条件直线平分与正方形的性质，利用勾股定理列方程组即可得到答案．

（1）BG⊥CE，BG=CE；

（2）（1）中结论仍然成立

证明：∵正方形ABDE和正方形ACFG，

∴AE=AB，AC=AG，∠EAB=∠CAG=90°，

∴∠EAC=∠BAG，

在△CAE和△BAG中，，

∴△CAE≌△GAB，

∴BG=CE，∠CEA=∠GBA，

又∠1=∠2

∴∠EAB=∠EOB=90°，

∴BG⊥CE；

（3）①当点O在EC上时，

方法一：如图1，连接BE，CG，

设BO=GO=x，OC=y，则OE=2x-y，

利用勾股定理建立方程组，

求出x，得CE长．

（图1）

方法二：如图2，连接BE，CG，EG，作BH⊥AC于点H，

先求CG，得BC的长，再求S△ABC，

然后证明S△ABC=S△AEG，利用面积法建立方程：

，求得CE长；

②如图3，当点O在EC延长线上时，

连接CG，作CM⊥AB于点M，GN⊥AB于点N，

由①知BC长，利用勾股定理建立方程组可求CM长

（或结合①BH长利用面积法求CM长），进而求AM长，

证△ACM≌△GAN，得AN，GN长，于是得到BN长，

再利用勾股定理求得BG长，得CE长．