Question

【题目】已知二次函数y=ax2﹣9ax+18a的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），图象的顶点为C，直线AC交y轴于点D．

（1）连接BD，若∠BDO=∠CAB，求这个二次函数的表达式；

（2）是否存在以原点O为对称轴的矩形CDEF？若存在，求出这个二次函数的表达式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣6x+12或y=﹣x2+6x﹣12；

(2)存在，理由见解析.

【解析】

（1）先用含a的代数式表示出顶点坐标，作CM⊥x轴于M，则OM=，CM=|﹣a|．令y=0求出A、B两点坐标.通过证明△ODA∽△OBD，可求出OD的长，由CM∥OD，求出CM的长，从而可求出a的值；

（2）连接OC，则OC=OD．由平行线的判定与性质可证∠OCD=∠DCM．由∠AON的正弦值求得∠AON=30°，由正切函数求出CM的长，进而可求出a的值.

解：（1）∵y=ax2﹣9ax+18a=a（x﹣）2﹣a，

∴顶点C（，﹣a）．

作CM⊥x轴于M，则OM=，CM=|﹣a|．

当y=0时，ax2﹣9ax+18a=0，解得x1=3，x2=6，

∴A（3，0），B（6，0）．

∵∠BDO=∠CAB，∠CAB=∠DAO，

∴∠DAO=∠BDO．

在△ODA与△OBD中，

，

∴△ODA∽△OBD，

∴=，即=，

∴OD=3．

∵CM∥OD，

∴=，即=，

∴CM=，

∴|﹣a|=，

∴a=±，

∴二次函数的解析式为y=x2﹣6x+12或y=﹣x2+6x﹣12；

（2）存在．连接OC，则OC=OD．

∴∠ODC=∠OCD．

∵CM∥OD，

∴∠ODC=∠DCM，

∴∠OCD=∠DCM．

作AN⊥OC于N，AN=AM=．

∵sin∠AON===，

∴∠AON=30°，

∴CM=OMtan30°=×=，

∴|﹣a|=，

∴a=±，

∴二次函数的解析式为y=x2﹣6x+12或y=﹣x2+6x﹣12．