Question

1．已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；
（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问DF与CE′相等吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，即可证得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF；
（2）由正方形ABCD的面积等于3，即可求得此正方形的边长，由在△BGE与△ABE中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案；
（3）首先由正切函数，求得∠BAE=30°，易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，进一步得出得出DE′=CF，继而证得结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，
∴∠ABF+∠CBF=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠BCF}\\{AB=BC}\\{∠BAE=∠CBF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF．

（2）解：∵正方形面积为3，
∴AB=$\sqrt{3}$，
在△BGE与△ABE中，
∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，
∴△BGE∽△ABE，
∴$\frac{{S}_{△BGE}}{{S}_{△ABE}}$=（$\frac{BE}{AE}$）²，
又∵BE=1，
∴AE²=AB²+BE²=3+1=4，
∴S_△BGE=$\frac{B{E}^{2}}{A{E}^{2}}$×S_△ABE=$\frac{1}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

（3）解：DF=CE′．
理由：∵AB=$\sqrt{3}$，BE=1，
∴tan∠BAE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠BAE=30°，
∵AB′=AB=AD，∠AB′E′=∠ADE′=90°，AE′公共，
∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°，
∴DE′=B′E′，
又∵△ABE≌△BCF，△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′，
∴CF=BE=B′E′=DE′，
∴CF-E′F=DE′-E′F，
即DF=CE′．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用