Question

9．已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）经过点M（-1，2）和点N（1，-2）交x轴于A、B两点，交y轴于C，则：①b=-2；②c＞0；③当x＞1时，y随x的增大而增大；④若a=1，则△ABC是直角三角形．以上说法正确的有（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ①④
• D． ②④

Answer 1

分析 ①二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）经过点M（-1，2）和点N（1，-2），因而将M、N两点坐标代入即可消去a、c解得b值．
②二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）经过点M（-1，2）和点N（1，-2），因而将M、N两点坐标代入即可消去b解得a=-c＞0．
③求出对称轴，然后结合a的取值范围判断．
④根据交点坐标与系数的关系可以判断．

解答 解：∵二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）经过点M（-1，2）和点N（1，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=a-b+c（i）\\}\\{-2=a+b+c（ii）}\end{array}\right.$，
由（i）-（ii）得到：b=-2，故①正确；
由（i）-（ii）得到a+c=0，则a=-c＞0，所以c＜0．故②错误；
二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{2}{a}$，当a＞0时不能判定x＞1时，y随x的增大而减小；故③错误；
④∵a=1，
∴二次函数为y=x²-2x+c，
∴C（0，c），
由根与系数可知OA•OB=|c|=OC．
∴AB²=|（x₁+x₂）²-4x₁•x₂|=|（-2）²-4c|=|4-4c|．
AC²+BC²=|x₁²+c²+x₂²+c²|=|（x₁+x₂）²-2x₁•x₂+2c²|=|4-2c+2c²|．
故④正确．
故选：C．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，交点坐标和系数的关系，熟悉抛物线的对称性及抛物线与x轴的交点坐标是本题的关键．