Question

【题目】如图，点C是⊙O的直径AB延长线上一点，过⊙O上一点D作DF⊥AB于F，交⊙O于点E，点M是BE的中点，AB＝4，∠E＝∠C＝30°．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）求DM的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD，由圆周角定理得出∠DOC＝2∠E＝60°，∠ODC＝180°﹣（∠DOC+∠C）＝90°，即可得出结论；

（2）连接OE、OM，证明∠DOC＝∠COE＝60°，由OB＝OE，点M是BE的中点，得出∠BOM＝∠COE＝30°，OM⊥BE，则∠DOM＝∠DOC+∠BOM＝90°，OM＝OBcos∠BOM＝，由勾股定理得DM＝=．

（1）证明：连接OD，如图1所示：

∵∠E＝30°，

∴∠DOC＝2∠E＝60°，

∴∠DOC+∠C＝60°+30°＝90°，

∴∠ODC＝180°﹣（∠DOC+∠C）＝180°﹣90°＝90°，即OD⊥CD，

∵OD是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连接OE、OM，如图2所示：

∵⊙O的直径AB，AB＝4，

∴OB＝OD＝2，

∵OD＝OE，DF⊥AB，

∴∠DOC＝∠COE＝60°，

∵OB＝OE，点M是BE的中点，

∴∠BOM＝∠COE＝30°，OM⊥BE，

∴∠DOM＝∠DOC+∠BOM＝60°+30°＝90°，

∵在Rt△OMB中，∠OMB＝90°，

∴OM＝OBcos∠BOM＝2cos30°＝2×＝，

由勾股定理得：DM＝==．