Question

14．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求证：△DMN∽△BCN；
（2）求BD的长；
（3）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行，即可证得：△DMN∽△BCN；
（2）由△DMN∽△BCN，可得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；
（2）由相似三角形相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S_△ABD=S_△BCD=S_△BCN+S_△CND，最后由S_{四边形ABNM}=S_△ABD-S_△MND求解．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△DMN∽△BCN；

（2）∵△DMN∽△BCN，
∴$\frac{MD}{CB}$=$\frac{DN}{BN}$，
∵M为AD中点，
∴MD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
即$\frac{MD}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DN}{BN}$=$\frac{1}{2}$，即BN=2DN，
设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x-1，
∴x+1=2（x-1），
解得：x=3，
∴BD=2x=6；

（3）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，
∴MN：CN=DN：BN=1：2，
∴S_△MND=$\frac{1}{2}$S_△CND=1，S_△BNC=2S_△CND=4．
∴S_△ABD=S_△BCD=S_△BCN+S_△CND=4+2=6，
∴S_{四边形ABNM}=S_△ABD-S_△MND=6-1=5．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意证得相似三角形的面积比等于相似比的平方，等高三角形面积的比等于其对应底的比．