Question

19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限只有-个交点A，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于B、C 两点，AD垂直平分OB，垂足为D，OA=$\sqrt{13}$，cos∠ABO=$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$．
（1）求点A的坐标及反比例函数解析式；
（2）求一次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用垂直平分线的性质求出BD的值，然后根据勾股定理求得AD的值，再根据已知条件求出点A的坐标（2，3），再利用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求得一次函数的解析式．

解答 解：（1）∵AD垂直平分OB，
∴OA=AB=$\sqrt{13}$．
∵cos∠ABO=$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$，
∴BD=2．
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{13-4}$=3，
∵OD=BD，
∴OD=2．
∴A（2，3）．
设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，
将A（2，3）代入：k=2×3=6．
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$．

（2）∵A（2，3），OD=DB=2，
∴OB=4，
∴B（4，0）．
设一次函数的解析式为y=ax+b（a≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=3}\\{4a+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+6．

点评 本题综合考查了垂直平分线的性质，反比例函数的解析式，点的坐标的特点以及一次函数的解析式的求法．