Question

7．如图，直线y=x+2与x轴交于点B，与反比例函数y=（m+5）x^2m+1的图象交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限．
（1）求此反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）若△AOB的面积为2，求A点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数的定义得2m+1=-1，解方程得m=-1，于是得到反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$，把y=0代入y=x+2得x=-2，于是得到B点坐标为（-2，0）；
（2）根据三角形面积公式得A点坐标为（2，2）．
（3）分三种情况讨论即可求得．

解答 解：（1）由题意得：
2m+1=-1，
m=-1．
故反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$；
由y=x+2可知B点的坐标为（-2，0）
（2）过点A作AD垂直x轴于D点
∵B点的坐标为（-2，0）
∴OB=2
∵三角形AOB的面积为2
∴$\frac{1}{2}$OB•AD=2，
∴AD=2，
把y=2代入y=$\frac{4}{x}$得x=2．
∴点A坐标是（2，2）；
（3）存在；
∵点A坐标是（2，2），
∴OA=2$\sqrt{2}$，
当OP=OA时，P点的坐标为（-2$\sqrt{2}$，0）或（2$\sqrt{2}$，0）；
当AP=OA时，P点的坐标为（4，0）；
当AP=OP时，P点的坐标为（2，0）．
综上，P点的坐标为（-2$\sqrt{2}$，0）或（2$\sqrt{2}$，0）或（4，0）或（2，0）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．