Question

【题目】我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（注：凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．）

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有_________；②在凸四边形中，且，则该四边形_________“十字形”．（填“是”或“不是”）

（2）如图1，，，，是半径为1的上按逆时针方向排列的四个动点，与交于点，，当时，求的取值范围；

（3）如图2，在平面直角坐标系中，抛物线（，，为常数，，）与轴交于，两点（点在点的左侧），是抛物线与轴的交点，点的坐标为，记“十字形”的面积为，记，，，的面积分别为，，，．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式：①；②；③“十字形”的周长为．

Answer 1

【答案】（1）①菱形，正方形；②不是；（2）（）；（3）．

【解析】

（1）①根据十字形的定义结合平行四边形，矩形，菱形，正方形对角线的性质进行判断；

②假设当时，根据SSS定理证得，然后结合全等三角形的性质求得，从而根据题意判断四边形不是“十字形”；

（2）先根据圆周角定理求得，然后过点作于，于，连接，，结合垂径定理和勾股定理求得，然后根据题意列不等式组求解即可；

（3）由二次函数的性质求求得，，，，，然后结合三角形面积分别求得，，，，，然后根据题意列等式分别求得a，b的值，从而判断四边形是菱形，利用菱形性质求解c，求得抛物线解析式．

解：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，

∴菱形，正方形是：“十字形”，

∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，

∴平行四边形，矩形不是“十字形”，

故答案为：菱形，正方形；

②如图，

当时，在和中，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴当时，四边形不是“十字形”，

故答案为：不是；

（2）∵，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

如图1，过点作于，于，连接，，

∴，，，，，

四边形是矩形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴（）；

（3）由题意得，，，，，

∵，，

∴，，，，，，

∴，，

，

，，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，，，，

∴四边形是菱形，

∴，

∴，

即：，

∵，

∴，

∴或（舍），

即：．