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【题目】如图,已知△ABC是⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,ODAB于点O,且∠ODC=2A.

(1)求证:CD是⊙O的切线;

(2)若AB=6,tanA=,求CD的长.

【答案】(1)见解析;(2)4.

【解析】分析:(1)连接OC,求出∠ODC=∠B,求出∠OCD=90°,根据切线的判定得出即可;

(2)过点CCH⊥AB于点H,解直角三角形求出BC,解直角三角形求出CHBH,证Rt△DOC∽Rt△OCH,得出比例式,即可求出答案.

1)证明:连接OC

OA=OC

∴∠A=ACO

∴∠BOC=2A

又∵∠ODC=2A

∴∠ODC=BOC

ODAB,即∠BOC+∠COD=90°

∴∠ODC+∠COD=90°

∴∠OCD=90°

CDOC

又∵OC是⊙O的半径,

CD是⊙O的切线;

2)如图,过点CCHAB于点H

AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,

∴∠ACB=90°

又∵∠CBH=ABC

∴∠BCH=A

RtABC中,AB=6tanA=

BC=x,则AC=3x,由勾股定理得:x2+(3x2=62

解得:x2=

BC2=

又在RtBCH中,tanBCH=

BH2+CH2=BC2

BH2+(3BH2=

解得:BH=CH=

OB=OC=3

OH=

又∵RtDOCRtOCH

CD==3×÷=4

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