Question

【题目】如图在⊙O中，BC=2，AB=AC，点D为AC上的动点，且cosB=．

（1）求AB的长度；

（2）求ADAE的值；

（3）过A点作AH⊥BD，求证：BH=CD+DH．

Answer 1

【答案】（1）AB=；（2）ADAE =10；（3）见解析.

【解析】

（1）作AM垂直于BC，由AB=AC，利用三线合一得到CM等于BC的一半，求出CM的长，再由cosB的值，利用锐角三角函数定义求出AB的长即可；

（2）连接DC，由等边对等角得到一对角相等，再由圆内接四边形的性质得到一对角相等，根据一对公共角，得到三角形EAC与三角形CAD相似，由相似得比例求出所求即可；

（3）在BD上取一点N，使得BN=CD，利用SAS得到三角形ACD与三角形ABN全等，由全等三角形对应边相等及等量代换即可得证．

（1）作AM⊥BC，

∵AB=AC，AM⊥BC，BC=2BM，

∴CM=BC=1，

∵cosB=，

在Rt△AMB中，BM=1，

∴AB=；

（2）连接DC，

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC，

∵四边形ABCD内接于圆O，

∴∠ADC+∠ABC=180°，

∵∠ACE+∠ACB=180°，

∴∠ADC=∠ACE，

∵∠CAE公共角，

∴△EAC∽△CAD，

∴，

∴ADAE=AC2=10；

（3）在BD上取一点N，使得BN=CD，

在△ABN和△ACD中 AB=AC,∠3=∠1，BN=CD，

∴△ABN≌△ACD（SAS），

∴AN=AD，

∵AN=AD，AH⊥BD，

∴NH=HD，

∵BN=CD，NH=HD，

∴BN+NH=CD+HD=BH．