Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D点，O是AB上一点，经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F．

（1）用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）求证：BC与⊙O相切；

（3）当AD=2，∠CAD=30°时，求劣弧AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）π

【解析】

（1）作AD的垂直平分线交AB于点O，以OA为半径画圆O分别交AB、AC于点E、F，则圆O即为所求；

（2）连接OD，得到OD＝OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAD＝∠ODA，等量代换得到∠ODA＝∠CAD，根据平行线的判定定理可得，OD∥AC，再根据平行线的性质可求证结论；

（3）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据三角形内角和定理得到∠AOD＝120°，根据三角函数的定义得到AE＝，再根据弧长公式可得结论．

（1）解：如图所示，

（2）证明：连结OD，则OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA，

∵∠OAD=∠CAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵∠C=90°，

∴∠ODC=90°，

即BC⊥OD，

∵BC经过半径OD的外端

∴BC与⊙O相切；

（3）解：连接DE，

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ADE=90°，

∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°，

∴∠AOD=120°，

在Rt△ADE中，

AE= = ＝4，

∴⊙O的半径=2，

∴劣弧AD的长==π．