Question

如图，AB是⊙O的直径，AD和BE是⊙O的两条切线，A，B为切点，过圆上一点C作⊙O切线CF，分别交AD，BE于点M、N，连接AC，CB，OM，ON．若AB＝2，∠ABC＝30°.给出以下结论：①△NBC是等边三角形；②△MON∽△ACB；③AM＝，BN＝；④△AMC的面积与△BNC的面积之比为1：9．其中正确的结论有： （把你认为正确结论的序号都填上）．

Answer 1

①②③④

【解析】

试题分析：因为EF和BE是⊙O的两条切线，所以NB=NC, ∠ABN＝90°，又∠ABC＝30°，所以∠NBC＝60°，所以△NBC是等边三角形，故①正确；因为EF和BE是⊙O的两条切线，所以∠BNO＝∠ONC=∠ABC＝30°,又可证∠ACB＝∠MON＝90°，所以△MON∽△ACB，故②正确；根据条件可知在Rt△AOM和Rt△NBO中，∠AOM=∠BNO＝30°,OA=OB=1，所以AM＝，BN＝,故③正确；过点C作CHAM于点H，因为AM=MC=,∠AMC＝120°，所以∠CMH＝60°，所以CH=,所以△AMC的面积=，△BNC的面积=，所以△AMC的面积与△BNC的面积之比为1：9，故④正确，所以①②③④都正确．

考点：1．切线的性质；2．切线长定理；3． 等边三角形的判定与性质；4．相似三角形的判定与性质；5．特殊角的三角函数值．