Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．
（1）求证：在运动过程中，不管t取何值，都有S△AED=2S△DGC ．
（2）当t取何值时，△DFE与△DMG全等．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，

∴DF=DM，

∵S△AED= AEDF，S△DGC= CGDM，

∴ = ，

∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，

∴ =2，

即 =2，

∴在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC

（2）解：设时间为t时，△DFE与△DMG全等，则EF=MG，

①当M在线段CG的延长线上时，

∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，

∴EF=AF﹣AE=10﹣2t，MG=AC﹣CG﹣AM=4﹣t，

即10﹣2t=4﹣t，

解得：t=6，

当t=6时，MG=﹣2，所以舍去；

②当M在线段CG上时，

∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，

∴EF=AF﹣AE=10﹣2t，MG=AM﹣（AC﹣CG）=t﹣4，

即10﹣2t=t﹣4，

解得：t= ，

综上所述当t= 时，△DFE与△DMG全等

【解析】（1）由角平分线的性质可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC ． （2）若△DFE与△DMG全等，则EF=MG，利用已知条件求出EF和MG的长度，建立方程解方程即可求出运动的时间．