Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．

（1）求证：∠1=∠F；

（2）若sinB=，EF=，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3．

【解析】

试题分析：（1）连接DE，由BD是⊙O的直径，得到∠DEB=90°，由于E是AB的中点，得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠B等量代换即可得到结论；

（2）g根据等腰三角形的判定定理得到AE=EF=，推出AB=2AE=，在Rt△ABC中，根据勾股定理得到BC=8，设CD=x，则AD=BD=8﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．

试题解析：（1）证明：连接DE，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB=90°，∵E是AB的中点，∴DA=DB，∴∠1=∠B，∵∠B=∠F，∴∠1=∠F；

（2）∵∠1=∠F，∴AE=EF=，∴AB=2AE=，在Rt△ABC中，AC=ABsinB=4，∴BC==8，设CD=x，则AD=BD=8﹣x，∵，即，∴x=3，即CD=3．