Question

【题目】如图，已知正方形的边长为2，是边上的动点，交CD于F，垂足为G，连接，下列说法：①;②;③点G运动的路径长为；④CG的最小值为；其中正确的是____________．

Answer 1

【答案】②④

【解析】

根据正方形对角线的性质可得出当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为AC中点，故①错误；求得∠BAE=∠CBF，根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，然后利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得AE=BF，判断出②正确；根据题意，G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，然后求出弧的长度，判断出③错误；由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，根据勾股定理求出最小CG长度．

解：∵在正方形ABCD中，BF⊥AE，

∴∠AGB保持90°不变，
∴G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，
∴当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为AC中点，
∴AG=GE，故①错误；
∵BF⊥AE，
∴∠AEB+∠CBF=90°，
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴故②正确；
∵当E点运动到C点时停止，
∴点G运动的轨迹为圆，
圆弧的长=π×2=，故③错误；
由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，
OC=，
CG的最小值为OCOG=，故④正确；
综上所述，正确的结论有②④．

故答案为：②④．