Question

【题目】已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点(不与B， C点重合)，∠ADE＝45°．

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；

（3）当△ADE是等腰三角形时，请直接写出AE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）y=x2-x+1=（x-）2+；（3）AE的长为2-或 ．

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE．
（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD=DE，AE=DE，AD=AE三种情况讨论求出满足题意的AE的长即可．

（1）证明：
∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠C=∠ADE=45°
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）由（1）得△ABD∽△DCE，
∴=，
∵∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴BC=，CD=-x，EC=1-y，
∴=，
∴y=x2-x+1=（x-）2+；
（3）当AD=DE时，△ABD≌△CDE，
∴BD=CE，
∴x=1-y，即 x-x2=x，
∵x≠0，
∴等式左右两边同时除以x得：x=-1
∴AE=1-x=2-，
当AE=DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，
所以，AE=；
当AD=AE时，∠DAE=90°，D与B重合，不合题意；
综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，
AE的长为2-或 ．