【题目】阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:
莱昂哈德欧拉(LeonhardEuler)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数,公式和定理,下面就是欧拉发现的一个定理:在△ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,O和I分别为其中外心和内心,则OI2=R2﹣2Rr.
如图1,⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆,⊙I与AB相切于点F,设⊙O的半径为R,⊙I的半径为r,外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离OI=d,则有d2=R2﹣2Rr.
下面是该定理的证明过程(部分):
延长AI交⊙O于点D,过点I作⊙O的直径MN,连接DM,AN.
∵∠D=∠N,∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等).
∴△MDI∽△ANI.
∴,
∴IAID=IMIN,①
如图2,在图1(隐去MD,AN)的基础上作⊙O的直径DE,连接BE,BD,BI,IF.
∵DE是⊙O的直径,所以∠DBE=90°.
∵⊙I与AB相切于点F,所以∠AFI=90°,
∴∠DBE=∠IFA.
∵∠BAD=∠E(同弧所对的圆周角相等),
∴△AIF∽△EDB,
∴.
∴IABD=DEIF②
任务:(1)观察发现:IM=R+d,IN= (用含R,d的代数式表示);
(2)请判断BD和ID的数量关系,并说明理由.
(3)请观察式子①和式子②,并利用任务(1),(2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分;
(4)应用:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm, BC=8cm,点O为AB中点,点I是△ABC的内心,则OI= cm.
【答案】(1)R﹣d;(2)BD=ID,理由见解析 ;(3)见解析;(4).
【解析】
(1)由IM+IN=2R可得出结果;
(2)过点I作⊙O直径MN,连接AI交⊙O于D,连接MD,BI,BD,证明∠BID=∠DBI即可;
(3)应用(1)(2)的结论即可;
(4)由题意可知,O为△ABC的外心,求出外接圆和内切圆半径,然后将数据直接代入公式计算即可.
解:(1)∵IM+IN=2R
∴IN=2R-IM=R﹣d
故答案为:R﹣d;
(2)BD=ID,理由:
如图3,过点I作⊙O直径MN,连接AI交⊙O于D,连接MD,BI,BD,
∵点I是△ABC的内心
∴∠BAD=∠CAD,∠CBI=∠ABI
∵∠DBC=∠CAD,∠BID=∠BAD+∠ABI,∠DBI=∠DBC+∠CBI
∴∠BID=∠DBI
∴BD=ID
(3)由(2)知:BD=ID
∴IAID=DEIF
∵DEIF=IMIN
∴2Rr=(R+d)(R﹣d)
∴R2﹣d2=2Rr
∴d2=R2﹣2Rr
(4)AB=cm
∵O为Rt△ABC斜边上的中点,
∴O为△ABC的外心,
∴R=AB=5cm,
△ABC的内切圆半径cm
∴cm
故答案为:.
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【题目】已知:如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B, C点重合),∠ADE=45°.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式;
(3)当△ADE是等腰三角形时,请直接写出AE的长.
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【题目】(8分)如图,已知O是坐标原点,B、C两点的坐标分别为(3,-1)、(2,1)。
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍画出图形。
(2)写出B、C两点的对应点B、C的坐标;
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x,y),写出M的对应点M的坐标。
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【题目】已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+2﹣m=0.
(1)证明:不论m为何值时,方程总有实数根;
(2)当m为何整数时,方程有两个不相等的整数根.
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【题目】甲、乙两名队员参加射击训练,每人射击10次,成绩分别如下:
根据以上信息,整理分析数据如下:
(1)填空:a= ;b= ;c= ;
(2)从平均数和中位数的角度来比较,成绩较好的是 ;(填“甲”或“乙”)
(3)若需从甲、乙两名队员中选择一人参加比赛,你认为选谁更加合适?请说明理由.
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【题目】(1)问题:如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°.
求证:AD·BC=AP·BP.
(2)探究:如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?说明理由.
(3)应用:请利用(1)(2)获得的经验解决问题:
如图3,在△ABD中,AB=12,AD=BD=10.点P以每秒1个单位长度的速度,由点A出发,沿边AB向点B运动,且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t(秒),当以D为圆心,以DC为半径的圆与AB相切,求t的值.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)的对应值如下表所示:
x | … | 0 | 4 | … | |
y | … | 0.37 | -1 | 0.37 | … |
则方程ax2+bx+1.37=0的根是( )
A.0或4B.或C.1或5D.无实根
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【题目】如图,湿地景区岸边有三个观景台、、.已知米,米,点位于点的南偏西方向,点位于点的南偏东方向.
(1)求的面积;
(2)景区规划在线段的中点处修建一个湖心亭,并修建观景栈道.试求、间的距离.(结果精确到0.1米)
(参考数据:,,,,,,)
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【题目】如图所示的网格中,每个小方格都是边长为1的正方形,B点的坐标为(-1,-1).
(1)把格点△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°后得到△A1BC1,请画出△A1BC1,并写出点A1的坐标;
(2)以点A为位似中心放大△ABC,得到△AB2C2,使放大前后的相似之比为1:2,请在下面网格内画出△AB2C2.
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