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【题目】阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:

莱昂哈德欧拉(LeonhardEuler)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数,公式和定理,下面就是欧拉发现的一个定理:在△ABC中,Rr分别为外接圆和内切圆的半径,OI分别为其中外心和内心,则OI2R22Rr

如图1,⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆,⊙IAB相切于点F,设⊙O的半径为R,⊙I的半径为r,外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离OId,则有d2R22Rr

下面是该定理的证明过程(部分):

延长AI交⊙O于点D,过点I作⊙O的直径MN,连接DMAN

∵∠D=∠N,∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等).

∴△MDI∽△ANI

IAIDIMIN,①

如图2,在图1(隐去MDAN)的基础上作⊙O的直径DE,连接BEBDBIIF

DE是⊙O的直径,所以∠DBE90°

∵⊙IAB相切于点F,所以∠AFI90°

∴∠DBE=∠IFA

∵∠BAD=∠E(同弧所对的圆周角相等),

∴△AIF∽△EDB

IABDDEIF

任务:(1)观察发现:IMR+dIN  (用含Rd的代数式表示);

2)请判断BDID的数量关系,并说明理由.

3)请观察式子①和式子②,并利用任务(1),(2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分;

4)应用:在RtABCC90°AC=6cm, BC=8cm,OAB中点,点I是△ABC的内心,则OI=  cm

【答案】1Rd;(2BDID,理由见解析 ;(3)见解析;(4

【解析】

1)由IM+IN=2R可得出结果;

2)过点IO直径MN,连接AIOD,连接MDBIBD,证明BIDDBI即可;

3)应用(1)(2)的结论即可;

4)由题意可知,O为△ABC的外心,求出外接圆和内切圆半径,然后将数据直接代入公式计算即可.

解:(1)∵IM+IN=2R

IN=2R-IM=Rd

故答案为:Rd

2BDID,理由:

如图3,过点IO直径MN,连接AIOD,连接MDBIBD

IABC的内心

∴∠BADCADCBIABI

∵∠DBCCADBIDBAD+∠ABIDBIDBC+∠CBI

∴∠BIDDBI

BDID

3)由(2)知:BDID

IAIDDEIF

DEIFIMIN

∴2Rr=(R+d)(Rd

R2d22Rr

d2R22Rr

4AB=cm

ORtABC斜边上的中点,

O为△ABC的外心,

R=AB=5cm

ABC的内切圆半径cm

cm

故答案为:

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(3)应用:请利用(1)(2)获得的经验解决问题:

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x

0

4

y

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-1

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A.04B.C.15D.无实根

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