【题目】如图所示的网格中,每个小方格都是边长为1的正方形,B点的坐标为(-1,-1).
(1)把格点△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°后得到△A1BC1,请画出△A1BC1,并写出点A1的坐标;
(2)以点A为位似中心放大△ABC,得到△AB2C2,使放大前后的相似之比为1:2,请在下面网格内画出△AB2C2.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:
莱昂哈德欧拉(LeonhardEuler)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数,公式和定理,下面就是欧拉发现的一个定理:在△ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,O和I分别为其中外心和内心,则OI2=R2﹣2Rr.
如图1,⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆,⊙I与AB相切于点F,设⊙O的半径为R,⊙I的半径为r,外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离OI=d,则有d2=R2﹣2Rr.
下面是该定理的证明过程(部分):
延长AI交⊙O于点D,过点I作⊙O的直径MN,连接DM,AN.
∵∠D=∠N,∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等).
∴△MDI∽△ANI.
∴,
∴IAID=IMIN,①
如图2,在图1(隐去MD,AN)的基础上作⊙O的直径DE,连接BE,BD,BI,IF.
∵DE是⊙O的直径,所以∠DBE=90°.
∵⊙I与AB相切于点F,所以∠AFI=90°,
∴∠DBE=∠IFA.
∵∠BAD=∠E(同弧所对的圆周角相等),
∴△AIF∽△EDB,
∴.
∴IABD=DEIF②
任务:(1)观察发现:IM=R+d,IN= (用含R,d的代数式表示);
(2)请判断BD和ID的数量关系,并说明理由.
(3)请观察式子①和式子②,并利用任务(1),(2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分;
(4)应用:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm, BC=8cm,点O为AB中点,点I是△ABC的内心,则OI= cm.
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【题目】如图,一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC长120mm,高AD为80mm,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.
(1)图中与△ABC相似的三角形是哪一个,说明理由;
(2)这个正方形零件的边长为多少?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,点E是△ABC的内心,过点E作EF∥AB交AC于点F,则EF的长为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠C=90°,AB=AD,AE⊥BC于E点,AE=2,则四边形ABCD的面积为( )
A.2B.3C.4D.6
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【题目】如图,PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,AC为弦,BC为⊙O的直径,若∠P=60°,PB=2cm.
(1)求证:△PAB是等边三角形;
(2)求AC的长.
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【题目】如图,已知AB为⊙O的直径,PA是⊙O的切线,点C是⊙O上异于点A的一点,且PC=PA.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若∠BAC=30°,AB=6,求∠P的度数及PA的长.
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