Question

2．如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动．连结BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连结EF，交BD于点G，交BC于点M，连结CF．给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③$\frac{DE}{AB}$=$\frac{HG}{EH}$；④GH的值为定值$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$；⑤若GM=3EG，则tan∠FGB=$\frac{3}{4}$
上述结论中正确的个数为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根据$\frac{DC}{BC}=\frac{DE}{BF}$=$\frac{1}{3}$可以判断①正确；根据△DCB∽△ECF可以判断②正确；根据△EDC∽△EHG得$\frac{ED}{EH}=\frac{DC}{HG}$，由AB=DC可知③错误；根据△DEH∽△DBA求出EH=$\frac{\sqrt{10}}{10}t$，HG=$\frac{\sqrt{10}}{5}$故④正确；根据已知条件可以证明△AEF是等腰三角形，列出方程6-t=2+3t，求出t，得到DE=1，根据tan∠BGF=tan∠DCE=$\frac{ED}{DC}=\frac{1}{2}$，故⑤错误．

解答 解：作CN⊥BD，连接AC．
∵四边形ABCD是矩形，AD∥BC，AB=DC，
∴∠CDA=∠DCB=∠DAB=∠ABC=90°，
∵$\frac{DC}{BC}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，$\frac{DE}{BF}=\frac{t}{3t}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DC}{BC}=\frac{DE}{BF}$，
∵∠CDE=∠FBC=90°
∴△CDE∽△CBF，故①正确，
∴∠DCE=∠BCF，
∵∠DCE+∠BCE=90°，
∴∠BCE+∠BCF=90°，
∴∠ECD=90°，
∵$\frac{EC}{CF}=\frac{DC}{BC}$，
∴$\frac{EC}{DC}=\frac{CF}{BC}$，
∵∠DCB=∠ECF
∴△DCB∽△ECF，
∴∠DBC=∠EFC，故②正确，
∴∠CDB=∠CEF，
∵∠CDB+∠DCN=90°，∠DCN+∠NCB=90°，
∴∠DCB=∠NCB=∠CEF，
∵CN⊥BD，EH⊥DB，
∴CN∥EH，
∴∠NCE=∠CEH，
∴∠ECB=∠HEG，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠ECB，
∴∠DEC=∠HEG，
∵∠EDC=∠EHG=90°，
∴△EDC∽△EHG，
∴$\frac{ED}{EH}=\frac{DC}{HG}$，
∵AB=DC，
∴$\frac{ED}{AB}=\frac{EH}{HG}$，故③错误，
∵AD=BC=6，AB=2，
∴BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵∠EDH=∠ADB，∠EHD=∠DAB，
∴△DEH∽△DBA，
∴$\frac{ED}{DB}=\frac{EH}{AB}$，
∴$\frac{t}{2\sqrt{10}}=\frac{EH}{2}$，
∴EH=$\frac{\sqrt{10}}{10}t$，
∵$\frac{ED}{AB}=\frac{EH}{HG}$，
∴$\frac{t}{2}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{10}t}{HG}$，
∴HG=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，故④正确．
∵BM∥ED，MG=3EG，
∴$\frac{BM}{DE}=\frac{GM}{EG}=3$，
∴BM=3t，
∵BF=3t，
∴MB=BF，∵∠MBF=90°
∴∠MFB=45°，
∵∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∴AE=AF，
∴6-t=2+3t
∴t=1，DE=1，
∵∠FGB=∠EGH=∠DCE，
∴tan∠BGF=tan∠DCE=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{1}{2}$，故⑤错误．
综上所述①②④正确．
故选B．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、三角函数等知识，综合性较强，利用同角的余角相等证明角相等是解题的关键，本题还用到方程的思想解决线段的长度问题．