Question

【题目】如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝14．点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF．

（1）如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，请直接写出BD与DO的数量关系．

（2）已知点G为AF的中点．

①如图2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的长．

②如图3，若DG∥BC，EC＝2，求的值．

Answer 1

【答案】（1）BD＝2OD，见解析；（2）①DG＝；②.

【解析】

（1）如图1中，首先证明CD=BD=AD，再证明四边形ADFC是平行四边形即可解决问题；
（2）①作DT⊥BC于点T，FH⊥BC于H．证明DG是△ABF的中位线，想办法求出BF即可解决问题；
（3）如图3，取AB中点O，连接OG，OC，BF，GE，通过证明△DGE∽△FBD，可得∠DGE=∠DBF=90°，，由等腰三角形的性质可得GE=EC=2，可求DB的值，即可求解．

解：（1）如图1中，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，BD＝AD，

∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，

∵CD＝CF，

∴AD＝CF，

∵∠ADC＝∠DCF＝90°，

∴AD∥CF，

∴四边形ADFC是平行四边形，

∴OD＝OC，

∵BD＝2OD．

（2）①解：如图2中，作DT⊥BC于点T，FH⊥BC于H．

由题意：BD＝AD＝CD＝7，BC＝BD＝14，

∵DT⊥BC，

∴BT＝TC＝7，

∵EC＝2，

∴TE＝5，

∵∠DTE＝∠EHF＝∠DEF＝90°，

∴∠DET+∠TDE＝90°，∠DET+∠FEH＝90°，

∴∠TDE＝∠FEH，

∵ED＝EF，

∴△DTE≌△EHF（AAS），

∴FH＝ET＝5，

∵∠DBE＝∠DFE＝45°，

∴B，D，E，F四点共圆，

∴∠DBF+∠DEF＝90°，

∴∠DBF＝90°，

∵∠DBE＝45°，

∴∠FBH＝45°，

∵∠BHF＝90°，

∴∠HBF＝∠HFB＝45°，

∴BH＝FH＝5，

∴BF＝5，

∵∠ADC＝∠ABF＝90°，

∴DG∥BF，

∵AD＝DB，

∴AG＝GF，

∴DG＝BF＝；

②如图3，取AB中点O，连接OG，OC，BF，GE，

∵∠DBE＝∠DFE＝45°，

∴点D，点B，点F，点E四点共圆，

∴∠DEF+∠DBF＝180°，∠DEB＝∠DFB，

∴∠DBF＝90°，

∵点O是AB中点，点G是AF中点，

∴OG∥BF，BF＝2OG，

∴∠AOG＝90°，且AO＝BO，

∴点G是AB垂直平分线上一点，

∵AC＝BC，

∴点C是AB垂直平分线上一点，

∴点O，点G，点C共线，

∴∠ACO＝∠BCO＝45°，

∵DG∥BC，

∴∠ODG＝∠OBC＝45°，∠OCB＝∠OGD＝45°，∠GDE＝∠BED，

∴∠OGD＝∠ODG＝45°，∠GDE＝∠BFD，

∴OD＝OG，

∴DG＝OG，

∴，，

∴，且∠GDE＝∠BFD，

∴△DGE∽△FBD，

∴∠DGE＝∠DBF＝90°，，

∵DG∥BC，

∴∠DGE＝∠GEC＝90°，且∠OCB＝45°，

∴∠EGC＝∠GCE＝45°，

∴GE＝EC＝2，

∴BD＝2，

∴AD＝AB﹣BD＝12，

∴.