Question

【题目】如图，是正方形外一点，连接交 于点，若．下列结论：①；②；③ 四边形的面积是；④点到 直线的距离为；⑤．其中结论正确的个数是（ ）

A.B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①易知AE=AF，AB=AD，所以只需证明∠EAB=∠FAD即可用SAS说明△AFD≌△AEB；

②易知∠AEB=∠AFD=135°，则∠BEF=∠AEB-∠AEF=135°-45°=90°，所以EB⊥ED；

③运用勾股定理求出EF和BE的长，根据三角形面积计算公式得出△AEF和△BEF的面积即可得到结论，

④在Rt△BEP中利用勾股定理求出，过点作，垂足为，得等腰直角三角形，根据勾股定理求得点到直线的距离为；则④错误；

⑤在△AEB中，∠AEB=135°，AE=2，BE=，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点，在Rt△AHB中利用勾股定理AB2=BH2+AH2即可

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=90°．

∴∠DAF+∠BAF=90°．

又∠EAB+∠BAF=90°，

∴∠EAB=∠DAF．

又AE=AF，

∴△AFD≌△AEB（SAS）．

所以①正确；

∵AE=AF，∠EAF=90°，

∴∠AFE=∠AEF=45°，

∴∠AFD=180°-45°=135°．

∵△AFD≌△AEB，

∴∠AEB=∠AFD=135°，

∴∠BEF=135°-45°=90°，

即EB⊥ED，②正确；

在Rt△AEF中，∠EAF=90°，

由勾股定理得，

在Rt△BEF中，∠BEF=90°，

，

四边形的面积=S△AEF+S△BEF==，结论 ③ 错误;

过点作，垂足为，

∵∠AEF=45°，∠BEF=90°

∴∠PEB=45°

∴△BPE是等腰直角三角形，

∵斜边．

∴BP=

点到直线的距离为．结论 ④ 错误;

如图所示，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点．

∵∠AEB=135°

∴∠AEH=45°

∴Rt△AHE是等腰三角形，

在等腰Rt△AHE中，可得AH=HE=AE=．

所以BH=．

在Rt△AHB中利用勾股定理可得AB2=BH2+AH2，

即AB2=（）2+（）2=，

所以⑤正确．

所以只有①、②和⑤的结论正确．

故选：C．