Question

【题目】（1）△ABC和△CDE是两个等腰直角三角形，如图1，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，连结AD、BE，求证：△ACD≌△BCE．

（2）△ABC和△CDE是两个含30°的直角三角形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，CD＜AC，△CDE从边CD与AC重合开始绕点C逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜180°）；

①如图2，DE与BC交于点F，与AB交于点G，连结AD，若四边形ADEC为平行四边形，求的值；

②若AB＝10，DE＝8，连结BD、BE，当以点B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）① ；②BE的长为﹣2+或．

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，证出∠ACD＝∠BCE，由SAS得出△ACD≌△BCE即可；

（2）①连接CG，由平行四边形的性质得出∠ADE+∠CED＝180°，证出∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝90°，A、D、G、C四点共圆，由圆周角定理得出∠AGC＝∠ADC＝90°，由直角三角形的性质得出CG＝ AC，AG＝ CG，CG＝BG，即可得出结果；

②分三种情况：

当∠BED＝90°时，证明△ACD∽△BCE，得出＝，得出AD＝BE，证出A、D、E共线，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

当∠DBE＝90°时，作CF⊥AB于F，由勾股定理得出DF＝，得出AD＝，即可得出BE的长；

当∠BDE＝90°时，作BG⊥CD于G，设DG＝x，则CG＝4﹣x，BG＝x，在Rt△BCG中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

（1）证明：∵△ABC和△CDE是两个等腰直角三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中， ，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）解：①连接CG，如图2所示：

∵四边形ADEC为平行四边形，

∴AD∥CE，

∴∠ADE+∠CED＝180°，

∵∠CED＝90°﹣∠CDE＝90°﹣30°＝60°，

∴∠ADE＝120°，

∴∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝90°，

∵∠CAB＝∠CDE＝30°，

∴A、D、G、C四点共圆，

∴∠AGC＝∠ADC＝90°，

∵∠CAB＝30°，

∴CG＝AC，AG＝CG，∠BCG＝30°，

∴CG＝BG，即BG＝ CG，

∴ ＝3；

②分三种情况：

当∠BED＝90°时，如图3所示：

∵△ABC和△CDE是两个含30°的直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，

∴∠ACD＝∠BCE，，

∴△ACD∽△BCE，

∴＝，

∴AD＝BE，

∴∠ADC＝∠BEC＝90°+∠CED＝90°+60°＝150°，

∵∠CDE＝30°，

∴∠CDE+∠ADC＝180°，

∴A、D、E共线，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，

即（BE+8）2+BE2＝102，

解得：BE＝﹣2± （负值舍去），

∴BE＝﹣2+；

当∠DBE＝90°时，如图4所示：

作CF⊥AB于F，则∠BCF＝30°，

∴BF＝BC，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，

∴BC＝AB＝5，CEDE＝4，

∴CD＝CE＝4，

∴BF＝BC＝，

∴CF＝BF＝ ，

∴DF＝，

∵AB＝AD+DF+BF，

∴AD＝10﹣，

∴BE＝；

当∠BDE＝90°时，如图5所示：

作BG⊥CD于G，

则∠BDG＝∠BDE﹣∠CDE＝60°，

∴∠DBG＝30°，

∴BD＝2DG，BG＝DG，

设DG＝x，则CG＝4﹣x，BG＝x，

在Rt△BCG中，由勾股定理得：CG2+BG2＝BC2，

即（4﹣x）2+（x）2＝52，

整理得：4xx+23＝0，

∵△＝（﹣8）2﹣4×4×23＜0，

∴此方程无解；

综上所述，当以点B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，BE的长为﹣2+ 或．