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【题目】有两张完全重合的矩形纸片,将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF(如图1),连接BDMF,若BD16cm,∠ADB30°

1)试探究线段BD 与线段MF的数量关系和位置关系,并说明理由;

2)把BCD MEF 剪去,将ABD绕点A顺时针旋转得AB1D1,边AD1FM 于点K(如图2),设旋转角为ββ90°),当AFK 为等腰三角形时,求β的度数;

3)若将AFM沿AB方向平移得到A2F2M2(如图3),F2M2AD交于点PA2M2BD交于点N,当NPAB时,求平移的距离.

【答案】(1)BDMFBDMF.理由见解析;(2β的度数为60°15°;(3)平移的距离是(124cm

【解析】

1)延长FMBD于点N,由旋转的性质得BAD≌△MAF,推出BDMF,∠ADB=∠AFM,进而可得∠DNM90°

2)分两种情形讨论:①当AKFK时,②当AFFK时,根据旋转的性质求解即可;

3)平移的距离是A2A的长度,在矩形PNA2A中,A2APN,求出PN的长度即可,用DPN∽△DAB得出对应线段成比例,即可得到A2A的大小.

解:(1)结论:BDMFBDMF

理由:如图1,延长FMBD于点N

由题意得:BAD≌△MAF

BDMF,∠ADB=∠AFM

又∵∠DMN=∠AMF

∴∠ADB+DMN=∠AFM+AMF90°

∴∠DNM90°

BDMF

2)如图2

①当AKFK时,∠KAF=∠F30°

则∠BAB1180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF180°90°30°60°

β60°

②当AFFK时,∠FAK180°﹣∠F)=75°

∴∠BAB190°﹣∠FAK15°

β15°

综上所述,β的度数为60°15°

3)如图3

由题意得矩形PNA2A,设A2Ax,则PNx

RtA2M2F2中,∵F2M2FM16,∠A2F2M2=∠ADB30°

A2M28A2F28

AF28x

∵∠PAF290°,∠PF2A30°

APAF2tan30°8x

PDADAP88+x

NPAB

∴△DPN∽△DAB

解得x124,即A2A124

∴平移的距离是(124cm

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