【题目】有两张完全重合的矩形纸片,将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF(如图1),连接BD,MF,若BD=16cm,∠ADB=30°.
(1)试探究线段BD 与线段MF的数量关系和位置关系,并说明理由;
(2)把△BCD 与△MEF 剪去,将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1,边AD1交FM 于点K(如图2),设旋转角为β(0°<β<90°),当△AFK 为等腰三角形时,求β的度数;
(3)若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2(如图3),F2M2与AD交于点P,A2M2与BD交于点N,当NP∥AB时,求平移的距离.
【答案】(1)BD=MF,BD⊥MF.理由见解析;(2)β的度数为60°或15°;(3)平移的距离是(12﹣4)cm.
【解析】
(1)延长FM交BD于点N,由旋转的性质得△BAD≌△MAF,推出BD=MF,∠ADB=∠AFM,进而可得∠DNM=90°;
(2)分两种情形讨论:①当AK=FK时,②当AF=FK时,根据旋转的性质求解即可;
(3)平移的距离是A2A的长度,在矩形PNA2A中,A2A=PN,求出PN的长度即可,用△DPN∽△DAB得出对应线段成比例,即可得到A2A的大小.
解:(1)结论:BD=MF,BD⊥MF.
理由:如图1,延长FM交BD于点N,
由题意得:△BAD≌△MAF,
∴BD=MF,∠ADB=∠AFM,
又∵∠DMN=∠AMF,
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°,
∴∠DNM=90°,
∴BD⊥MF;
(2)如图2,
①当AK=FK时,∠KAF=∠F=30°,
则∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°,
即β=60°;
②当AF=FK时,∠FAK=(180°﹣∠F)=75°,
∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°,
即β=15°;
综上所述,β的度数为60°或15°;
(3)如图3,
由题意得矩形PNA2A,设A2A=x,则PN=x,
在Rt△A2M2F2中,∵F2M2=FM=16,∠A2F2M2=∠ADB=30°,
∴A2M2=8,A2F2=8,
∴AF2=8﹣x,
∵∠PAF2=90°,∠PF2A=30°,
∴AP=AF2tan30°=8﹣x,
∴PD=AD﹣AP=8﹣8+x,
∴△DPN∽△DAB,
∴,
∴,
解得x=12﹣4,即A2A=12﹣4,
∴平移的距离是(12﹣4)cm.
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【题目】(1)△ABC和△CDE是两个等腰直角三角形,如图1,其中∠ACB=∠DCE=90°,连结AD、BE,求证:△ACD≌△BCE.
(2)△ABC和△CDE是两个含30°的直角三角形,其中∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=30°,CD<AC,△CDE从边CD与AC重合开始绕点C逆时针旋转一定角度α(0°<α<180°);
①如图2,DE与BC交于点F,与AB交于点G,连结AD,若四边形ADEC为平行四边形,求的值;
②若AB=10,DE=8,连结BD、BE,当以点B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,求BE的长.
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【题目】已知,在中,弦,连接、;
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,在线段上取点,连接并延长交于点,交于点,,连接、、,,求的正切值;
(3)如图3,在(2)的条件下,交于点,,,求线段的长.
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【题目】如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图,则下列判断错误的是( ).
A. 甲的数学成绩高于班级平均分,且成绩比较稳定
B. 乙的数学成绩在班级平均分附近波动,且比丙好
C. 丙的数学成绩低于班级平均分,但成绩逐次提高
D. 就甲、乙、丙三个人而言,乙的数学成绩最不稳
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【题目】某景点试开放期间,团队收费方案如下:不超过30人时,人均收费120元;超过30人且不超过m(30<m≤100)人时,每增加1人,人均收费降低1元;超过m人时,人均收费都按照m人时的标准.设景点接待有x名游客的某团队,收取总费用为y元.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)景点工作人员发现:当接待某团队人数超过一定数量时,会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象.为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加,求m的取值范围.
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【题目】已知AD是△ABC的中线P是线段AD上的一点(不与点A、D重合),连接PB、PC,E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点,AD与EF交于点M;
(1)如图1,当AB=AC时,求证:四边形EGHF是矩形;
(2)如图2,当点P与点M重合时,在不添加任何辅助线的条件下,写出所有与△BPE面积相等的三角形(不包括△BPE本身).
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,交AB于点E,过点D作DF⊥AB,垂足为F,连接DE.
(1)求证:直线DF与⊙O相切;
(2)若AE=7,BC=6,求AC的长.
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