Question

【题目】如图，已知直线y＝x与反比例函数y＝(k>0)的图象交于A，B两点，且点A的横坐标为4.

(1)求k的值．

(2)若反比例函数y＝的图象上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积．

(3)若过原点O的另一条直线l交反比例函数y＝ (k>0)的图象于P，Q两点(点P在第一象限)，以A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1)8(2)15(3) (2，4)或(8，1)

【解析】（1）先根据直线的解析式求出A点的坐标，然后将A点坐标代入双曲线的解析式中即可求出k的值；

（2）由（1）得出的双曲线的解析式，可求出C点的坐标，由于△AOC的面积无法直接求出，因此可通过作辅助线，通过其他图形面积的和差关系来求得．（解法不唯一）；

（3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即6．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后参照（2）的三角形面积的求法表示出△POA的面积，由于△POA的面积为6，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．

（1）∵点A横坐标为4，

把x=4代入y=x中

得y=2，

∴A（4，2），

∵点A是直线y=x与双曲线y=（k＞0）的交点，

∴k=4×2=8；

（2）如图，

∵点C在双曲线上，

当y=8时，x=1，

∴点C的坐标为（1，8）．

过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON．

∵S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4．

∴S△AOC=S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15；

（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，

∴OP=OQ，OA=OB，

∴四边形APBQ是平行四边形，

∴S△POA=S平行四边形APBQ×=×24=6，

设点P的横坐标为m（m＞0且m≠4），

得P（m，），

过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，

∵点P、A在双曲线上，

∴S△POE=S△AOF=4，

若0＜m＜4，如图，

∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，

∴S梯形PEFA=S△POA=6．

∴（2+）（4-m）=6．

∴m1=2，m2=-8（舍去），

∴P（2，4）；

若m＞4，如图，

∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，

∴S梯形PEFA=S△POA=6．

∴（2+）（m-4）=6，

解得m1=8，m2=-2（舍去），

∴P（8，1）．

∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）．