Question

12．如图，已知等边△ABC和等边△BPE，点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于M，连BM．若∠ABM=40°，则∠APB=（　　）

• A． 40°
• B． 45°
• C． 50°
• D． 60°

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠ABP=∠CBE=60°，PB=PE，证得△APB≌△CEB （SAS），根据全等三角形的性质得到∠APB=∠CEB，于是得到∠PME=∠PBE=60゜，作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，通过△BNP≌△BFE（AAS），得到BN=BF，根据角平分线的性质得到BM平分∠AME，求得∠AMB=$\frac{1}{2}∠$AME=$\frac{1}{2}×120°$=60°，根据三角形的内角和即可得到结论．

解答 证明：∵等边△ABC和等边△BPE，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBE=60°，PB=PE，
在△APB和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBE}\\{BP=BE}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△CEB （SAS），
∴∠APB=∠CEB，
∵∠MCP=∠BCE，
∴∠PME=∠PBE=60゜，
作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，
∵△APB≌△CEB，
∴BP=BE，∠BPN=∠FEB，
在△BNP和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BNP=∠BFE}\\{∠NPB=∠FEB}\\{PB=EB}\end{array}\right.$，
∴△BNP≌△BFE（AAS），
∴BN=BF，
∴BM平分∠AME，
∴∠AMB=$\frac{1}{2}∠$AME=$\frac{1}{2}×120°$=60°，
∵∠ABM=40°，
∴∠BAP=80°，
∴∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=40°．
故选A．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．