Question

8．设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．
（1）一次函数y=-x+7是闭区间[3，4]上的“闭函数”吗？请判断，并说明理由；
（2）若二次函数y=x²-4x-1是闭区间[a，b]上的“闭函数”，a＜2＜b，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 （1）分别计算出自变量为3或4时的函数值，然后根据闭函数的定义进行判断；
（2）首先求出二次函数y=x²-4x-1最小值，结合闭函数的定义以及二次函数的增减性即可求出a和b的值．

解答 解：（1）x=3时，y=-x+7=4；当x=4时，y=-x+7=3，
所以y=-x+7是闭区间[3，4]上的“闭函数”；
（2）∵二次函数解析式为y=x²-4x-1，
∴y=（x-2）²-5，
∴当x=2时，y有最小值为-5，
∵当a＜2＜b时，二次函数y=x²-4x-1是闭区间[a，b]上的“闭函数”，
∴a=-5，
∴b²-4b-1=b，
∴b=$\frac{5+\sqrt{29}}{2}$．

点评 本题主要考查了二次函数的性质以及一次函数的性质的知识，解答本题的关键是理解闭区间以及闭函数的意义，此题难度不大．