Question

5．如图，在?ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，G、H分别为AD、BC的中点．求证：EF、GH互相平分．

Answer 1

分析 连接BG、DH，由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AB∥CD，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，由AAS证明△ABE≌△CDF，得出BE=DF，证明四边形BHDG是平行四边形，得出对角线互相平分OG=OH，OB=OD，求出OE=OF，结论得出结论．

解答 证明：连接BG、DH，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CDF}&{\;}\\{∠AEB=∠CFD}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∵G、H分别为AD、BC的中点，
∴DG=BH，
∴四边形BHDG是平行四边形，
∴OG=OH，OB=OD，
∴OB-BE=OD-DF，
∴OE=OF，
即EF、GH互相平分．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；证明四边形BHDG是平行四边形得出对角线互相平分是解决问题的突破口．