Question

15．a为非零整数，若方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y+z=a}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=4}\\{xy={z}^{2}}\end{array}\right.$的解x，y，z为互不相同的正数，则a=3．

Answer 1

分析 将方程1平方后展开，根据方程2和3可得出a²-2az-4=0，用a表示出z，由a为非零整数，尝试将3、4、5分别代入可知a的值为3．

解答 解：∵（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+xz+yz）=4+2（z²+xz+yz）=4+2z（x+y+z）=4+2az=a²，
∴有a²-2az-4=0，
解得：z=$\frac{{a}^{2}-4}{2a}$．
∵a为非零整数，x，y，z为互不相同的正数，
∴当a=3时，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{13+\sqrt{69}}{12}}\\{y=\frac{13-\sqrt{69}}{12}}\\{z=\frac{5}{6}}\end{array}\right.$；
当a=4时，z=$\frac{3}{2}$，且$\left\{\begin{array}{l}{x+y=\frac{5}{2}}\\{xy=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$无解；
当a=5时，z=$\frac{21}{10}$＞2，不合适．
综上可知a=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了解高次方程组，解题的关键是用a表示出z，代入数据尝试．本题属于中档题，难度不小，整体做题的过程中常常感觉无处下手，解决该类题型的办法是用a的值表示出其中一个未知数的值，再由a的特性代入数据去查证．