Question

【题目】某体育彩票经销商计划用4500元从省体彩中心购进彩票20捆，已知体彩中心有、、三种不同价格的彩票，进价分别是彩票每捆150元，彩票每捆200元，彩票每捆250元．

（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20捆，刚好用去4500元，请你帮助设计进票方案；

（2）若销售型彩票每捆获手续费20元，型彩票每捆获手续费30元，型彩票每捆获手续费50元．在问题（1）设计的购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得的手续费最多，你选择哪种进票方案？

（3）若经销商准备用4500元同时购进、、三种彩票20捆，请你帮助经销商设计进票方案．

Answer 1

【答案】（1）购进A种彩票5捆，C种彩票15捆或B种彩票与C种彩票各10捆；（2）A种彩票5捆，C种彩票15捆；（3）方案1：A种1捆，B种8捆，C种11捆；方案2：A种2捆，B种6捆，C种12捆；方案3：A种3捆，B种4捆，C种13捆；方案4：A种4捆，B种2捆，C种14捆．

【解析】

（1）因为彩票有A，B，C三种不同型号，而经销商同时只购进两种，所以要将A，B，C两两组合，分三种情况：A，B；A，C；B，C，每种情况都可以根据下面两个相等关系列出方程，两种不同型号的彩票捆数之和＝20，购买两种不同型号的彩票钱数之和＝4500，然后根据实际含义即可确定他们的解；

（2）根据上一问分别求出每一种情况的手续费，然后进行比较即可得出结果；

（3）有两个等量关系：A彩票扎数+B彩票扎数+C彩票扎数＝20，购买A彩票钱数+购买B彩票钱数+购买C彩票钱数＝4500；可设三个未知数，然后用含有同一个未知数的代数式去表示另外的两个未知数，再根据三个未知数都是正整数，并结合实际意义即可求出结果．

解：（1）若设购进A种彩票x捆，B种彩票y捆，

根据题意得：，解得：，

∵x＜0，∴此种情况不合题意；

若设购进A种彩票x捆，C种彩票y捆，

根据题意得：，解得：，

若设购进B种彩票x捆，C种彩票y捆，

根据题意得：，解得：，

综上所述，若经销商同时购进两种不同型号的彩票，共有两种方案：即购进A种彩票5捆，C种彩票15捆或B种彩票与C种彩票各10捆；

（2）若购进A种彩票5捆，C种彩票15捆，销售完后可获手续费为：20×5+50×15＝850（元）；

若购进B种彩票与C种彩票各10捆，销售完后可获手续费为：30×10+50×10＝800（元）；

∴为使销售完后获得手续费最多，应选择的方案为：A种彩票5捆，C种彩票15捆；

（3）设购进A种彩票m捆，B种彩票n捆，C种彩票h捆．

由题意得：，解得：，

∵m、n都是正整数，∴1≤m＜5，

∴m=1，2，3，4，

所以共有4种进票方案，具体如下：

方案1：A种1捆，B种8捆，C种11捆；

方案2：A种2捆，B种6捆，C种12捆；

方案3：A种3捆，B种4捆，C种13捆；

方案4：A种4捆，B种2捆，C种14捆．