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【题目】已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,点 D 是边 BC 的中点.以BD为直径作⊙O,交边 AB于点P,连接PC,交AD于点E.

(1)求证:AD是⊙O的切线;

(2)当∠BAC=90°时,求证:CE=2PE;

(3)如图2,当PC是⊙O的切线,E为AD 中点,BC=8,求AD的长.

【答案】(1)证明见详解;(2)证明见详解;(3)2.

【解析】

(1)要证明AD是圆O的切线,只要证明∠BDA=90°即可;

(2)连接PD、PO,根据直径上的圆周角是直角可得PD∥AC,所以得△PBD是等腰三角形,则OD=BD,又由已知得OD=BD=DC,由平行线分线段成比例得=

(3)连接OP,根据三角函数可求得PC,CD的长,再在Rt△ADE中利用三角函数求得DE的长,进而得出AD的长.

(1)证明:∵AB=AC,点D是边BC的中点,

∴AD⊥BD.

又∵BD是圆O直径,

∴AD是圆O的切线.

(2)证明:连接PD、PO,

∴PD∥AC,

已知△ABC中,AB=AC,∴BD=DC,

∴PB=PD,

∴OD=OB=BD=DC,

∴PE=CE,

=

CE=2PE;

(3)连接OP,

BC=8,得CD=4,OC=6,OP=2,

∵PC是圆O的切线,O为圆心,

∴∠OPC=90°∴由勾股定理,PC=4

在△OPC,tan∠OCP= =

在△DEC,tan∠DCE= =,DE=DC=.

∵EAD中点,

∴AD=2.

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求证:

1AD=BD

2DF⊙O的切线.

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