Question

15．已知抛物线y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3交x轴于A、B点，交y轴于点C，点P为x轴下方抛物线上一点，CP交x轴于点Q，当S_△ACQ=S_△PBQ，求点P的坐标．

Answer 1

分析 连接BC、AP，如图，根据抛物线与x轴的交点问题求出A（1，0），B（4，0），利用y轴上点的坐标特征得到C（0，3），再利用待定系数求出直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，由于S_△ACQ=S_△PBQ，则S_△ACP=S_△ABP，则根据三角形面积公式和平行线的判定方法可得BC∥AP，接着利用两直线平行的问题可求出直线AP的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{4}$，然后通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{15}{4}x+3}\\{y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}}\end{array}\right.$可得到P点坐标．

解答 解：连接BC、AP，如图，
当y=0时，$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3=0，解得x₁=1，x₂=4，则A（1，0），B（4，0），
当x=0时，y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3=3，则C（0，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（4，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，则直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∵S_△ACQ=S_△PBQ，
∴S_△AOP+S_△ACQ=S_△AOP+S_△PBQ，
即S_△ACP=S_△ABP，
∴BC∥AP，
设直线AP的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+m，
把A（1，0）代入得-$\frac{3}{4}$+m=0，解得m=$\frac{3}{4}$，
∴直线AP的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{4}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{15}{4}x+3}\\{y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（3，-$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程；从二次函数的交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）中可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．也考查了待定系数法求一次函数解析式和两直线平行的问题．