Question

6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB和AC上，且DE∥BC．
（1）若AD：DB=1：1，则S_△ADE：S_{四边形DBCE}等于多少？
（2）若S_△ADE=S_{四边形DBCE}，则DE：BC，AD：DB各等于多少？

Answer 1

分析 （1）由AD：DB=1：1，得到AD：AB=1：2，由△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）由DE∥BC可判断△ADE∽△ABC，由S_△ADE=S_{四边形DBCE}可知，S_△ADE：S_△ABC=1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得答案．

解答 解：（1）∵AD：DB=1：1，
∴AD：AB=1：2，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AD}{AB}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴S_△ADE：S_{四边形DBCE}=$\frac{1}{3}$；

（2）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
又∵S_△ADE=S_{四边形DBCE}，
∴S_△ADE：S_△ABC=1：2，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AD}{AB}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，主要利用了相似三角形面积的比等于相似比的平方．