Question

【题目】已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA． ①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；

（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2， ，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，

①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．

由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B．

∴∠APO=90°．

∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC．

∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．

∴△OCP∽△PDA．

②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，

∴ = = = = ．

∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．

∵AD=8，∴CP=4，BC=8．

设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．

在Rt△PCO中，

∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，

∴x2=（8﹣x）2+42．

解得：x=5．

∴AB=AP=2OP=10．

∴边AB的长为10．

（2）解：如图1，

∵P是CD边的中点，

∴DP= DC．

∵DC=AB，AB=AP，

∴DP= AP．

∵∠D=90°，

∴sin∠DAP= = ．

∴∠DAP=30°．

∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，

∴∠OAB=30°．

∴∠OAB的度数为30°．

（3）解：作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．

∴∠APB=∠MQP．

∴MP=MQ．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴PE=EQ= PQ．

∵BN=PM，MP=MQ，

∴BN=QM．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF．

在△MFQ和△NFB中，

．

∴△MFQ≌△NFB．

∴QF=BF．

∴QF= QB．

∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB．

由（1）中的结论可得：

PC=4，BC=8，∠C=90°．

∴PB= =4 ．

∴EF= PB=2 ．

∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2 ．

【解析】（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长．（2）由DP= DC= AB= AP及∠D=90°，利用三角函数即可求出∠DAP的度数，进而求出∠OAB的度数．（3）由边相等常常联想到全等，但BN与PM所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半，只需求出PB长就可以求出EF长．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对矩形的性质的理解，了解矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．