Question

【题目】我们知道平行四边形那有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论
（1）【发现与证明】
在ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．
结论1：B′D∥AC；
结论2：△AB′C与ABCD重叠部分的图形是等腰三角形．
…
请利用图1证明结论1或结论2．
（2）【应用与探究】
在ABCD中，∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．
如图1，若AB= ，∠AB′D=75°，则∠ACB= ， BC=；

（3）如图2，AB=2 ，BC=1，AB′与CD相交于点E，求△AEC的面积；

（4）已知AB=2 ，当BC的长为多少时，△AB′D是直角三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

在ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．

如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，BC=AD，∠B=∠ADC，

∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，

∴AB′=AB，B′C=BC，∠AB′C=∠B，

∴AB′=CD，B′C=AD，∠AB′C=∠ADC，

在△AB′C和△CAD中，

，

∴△AB′C≌△CAD（SAS），

∴∠ACB′=∠CAD，

设AD、B′C相交于E，

∴AE=CE，

∴△ACE是等腰三角形，

即△AB′C与ABCD重叠部分的图形是等腰三角形；

∵B′C=AD，AE=CE，

∴B′E=DE，

∴∠CB′D=∠ADB′，

∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD，

∴∠ADB′=∠DAC，

∴B′D∥AC；

（2）45°；
（3）

解：如图2，

作CG⊥AB′于G，

∵∠B=30°，

∴∠AB′C=30°，

∴CG= B′C= BC= ，B′G= B′C= BC= ，

∵AB′=AB=2 ，

∴AG=2 ﹣ = ，

设AE=CE=x，则EG= ﹣x，

∵CG2+EG2=CE2，

∴（ ）2+（ ﹣x）2=x2，解得x= ，

∴AE= ，

∴△AEC的面积= AECG= × × = ；

（4）

解：如图2，∵AD=BC，BC=B′C，

∴AD=B′C，

∵AC∥B′D，

∴四边形ACB′D是等腰梯形，

∵∠B=30°，

∴∠AB′C=∠CDA=30°，

∵△AB′D是直角三角形，

当∠B′AD=90°，AB＞BC时，

设∠ADB′=∠CB′D=y，

∴∠AB′D=y﹣30°，

∵∠AB′D+∠ADB′=90°，

∴y﹣30°+y=90°，解得y=60°，

∴∠AB′D=y﹣30°=30°，

∵AB′=AB=2 ，

∴AD= ×2 =2，

∴BC=2，

当∠ADB′=90°，AB＞BC时，如图3，

∵AD=BC，BC=B′C，

∴AD=B′C，

∵AC∥B′D，

∴四边形ACB′D是等腰梯形，

∵∠ADB′=90°，

∴四边形ACB′D是矩形，

∴∠ACB′=90°，

∴∠ACB=90°，

∵∠B=30°，AB=2 ，

∴BC= AB= ×2 =3；

当∠B′AD=90°AB＜BC时，如图4，

∵AD=BC，BC=B′C，

∴AD=B′C，

∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，

∴∠B′GC=90°，

∵∠B=30°，AB=2 ，

∴∠AB′C=30°，

∴GC= B′C= BC，

∴G是BC的中点，

在RT△ABG中，BG= AB= ×2 =3，

∴BC=6；

当∠AB′D=90°时，如图5，

∵AD=BC，BC=B′C，

∴AD=B′C，

∵AC∥B′D，

∴四边形ACDB′是等腰梯形，

∵∠AB′D=90°，

∴四边形ACDB′是矩形，

∴∠BAC=90°，

∵∠B=30°，AB=2 ，

∴BC=AB÷ =2 × =4；

∴已知当BC的长为2或3或4或6时，△AB′D是直角三角形．

【解析】【发现与证明】通过三角形全等即可求得∠ACB′=∠CAD，即可得到结论2；进而根据等腰三角形的性质证得∠ADB′=∠DAC，根据平行线的判定即可证得结论1；【应用与探究】（1）根据对折的性质求得∠AB′C=30°，从而求得∠CB′D=45°，由于B′D∥AC，得出∠ACB′=∠CB′D=45°，进而即可求得∠ACB=45°；作AG⊥BC于G，根据解直角三角形即可求得BC；（2）作CG⊥AB′于G，通过解直角三角形求得CG= ，B′G= ，进而求得AG=2 ﹣ = ，设AE=CE=x，则EG= ﹣x，根据勾股定理即可求得x值，即AE的值，然后根据三角形的面积公式即可求得△AEC的面积；（3）先证得四边形ACB′D是等腰梯形，根据等腰梯形的性质得出∠AB′C=∠CDA=30°，∠B′AD=∠DCB′=90°，设∠ADB′=∠CB′D=y，则∠AB′D=y﹣30°，根据∠AB′D+∠ADB′=90°，得出y﹣30°+y=90°，解得y=60°，进而求得∠AB′D=30°，通过解直角三角形即可求得BC．
【应用与探究】（1）如图1，∵在ABCD中，∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠AB′C=30°，
∵∠AB′D=75°，
∴∠CB′D=45°，
∵B′D∥AC，
∴∠ACB′=∠CB′D=45°，
∵∠ACB=∠ACB′，
∴∠ACB=45°；
作AG⊥BC于G，
∴AG=CG，
∵∠B=30°，
∴AG= AB= = ，
∴CG= ，BG= = ，
∴BC=BG+CG= ，
所以答案是：45°， ；

【考点精析】本题主要考查了平行四边形的判定的相关知识点，需要掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形才能正确解答此题．