Question

11．如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃ABCD．设花圃的一边AB为x（m）．
（1）则BC=30-3x（用含x的代数式表示），矩形ABCD的面积=-3x²+30x（用含x的代数式表示）；
（2）如果要围成面积为63m²的花圃，AB的长是多少？
（3）将（1）中表示矩形ABCD的面积的代数式通过配方，问：当AB等于多少时，能够使矩形花圃ABCD面积最大，最大的面积为多少？

Answer 1

分析 （1）用总长减去与墙垂直的三条篱笆的长度的和即为BC的长，然后利用长乘以宽即可求得面积；
（2）根据面积为63列出一元二次方程求解即可；
（3）配方后即可确定面积的最值及AB的长．

解答 解：（1）BC=30-3x，矩形ABCD的面积=-3x²+30x；

（2）当矩形ABCD的面积为63时，-3x²+30x=63，
解此方程得：x₁=7，x₂=3，
当x=7时，30-3x=9＜20，符合题意；
当x=3时，30-3x=21＞20，不符合题意，舍去；
∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m²．

（3）矩形ABCD的面积=-3x²+30x=-3（x-5）²+75，
∵（x-5）²≥0
∴-3（x-5）²≤0∴-3（x-5）²+75≤75…12
∵0＜30-3x≤20即：$\frac{10}{3}≤x＜10$
∴当x=5时，满足$\frac{10}{3}≤x＜10$
矩形花圃ABCD面积最大，最大面积为75m²．

点评 考查了二次函数的应用及一元二次方程的应用的知识，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题．